किसी रूप का समाकल কী?

मान लीजिए $M$ कोई अभिविन्यस्त $k$-उपबहुविध है और $\omega$ $M$ के किसी प्रतिवेश पर परिभाषित कोई $k$-रूप, जिसमें $\operatorname{supp}\omega \cap M$ संहत हो। (क) यदि किसी एक ही प्रत्यक्ष प्राचलन के लिए $\operatorname{supp}\omega \cap M \subseteq \gamma(V)$ हो, तो

रखिए — जहाँ दायाँ पक्ष $V$ (अध्याय 11) पर $\gamma^*\omega = g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$ के गुणांक $g$ का लेबेग समाकल है, जो संहत आलंब के साथ संतत है। (ख) व्यापक स्थिति में संहत $\operatorname{supp}\omega \cap M$ को आच्छादित करने वाले परिमित संख्या के प्रत्यक्ष प्राचलन $\gamma_i(V_i)$ और उनके अधीनस्थ इकाई विभाजन $(\chi_i)$ (प्रमेयिका 21.20) चुनिए, और $\int_M\omega = \sum_i\int_M\chi_i\,\omega$ रखिए, जिसका प्रत्येक पद (क) से परिकलित होता है। किसी वक्र ($k = 1$) के लिए, जो $\gamma\colon\intcc ab\to\R^n$ से प्राचलित हो, हम $\int_\gamma\omega = \int_a^b\gamma^*\omega$ लिखते हैं, और इसके लिए किसी एकैकीपन की आवश्यकता नहीं।