21अवकल रूप और स्टोक्स की प्रमेय

उपपत्ति. जनकता। मान लीजिए $\alpha \in \Lambda^kE^*$ और $\beta = \sum_I\alpha(e_I)\,e_I^*$, जहाँ $\alpha(e_I)$ $\alpha(e_{i_1}, \dots, e_{i_k})$ का संक्षेप है। दोनों पक्ष $k$-रैखिक और एकांतर हैं, अतः वे तभी सहमत हो जाते हैं जब $j_1 < \dots < j_k$ वाले सभी $k$-बहुकों $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ पर सहमत हों (बहुरैखिकता आधार सदिशों के बहुकों तक सिमटा देती है, और एकांतरता कड़ाई से बढ़ते हुए बहुकों तक)। और $e_I^*(e_{j_1}, \dots, e_{j_k}) = \det(e_{i_r}^*(e_{j_s})) = \delta_{IJ}$: $I = J$ के लिए आव्यूह तत्समक है; और $I \neq J$ के लिए कोई पंक्ति शून्य होती है। अतः सभी $J$ के लिए $\beta(e_J) = \alpha(e_J)$: इसलिए $\beta = \alpha$। स्वतंत्रता। यदि $\sum_I c_Ie_I^* = 0$ हो, तो $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ पर मान लेने से $c_J = 0$ मिलता है। ∎

उपपत्ति. दोनों गुण आधार अवयवों पर जाँचे जाते हैं और द्विरैखिकता से बढ़ा दिए जाते हैं। साहचर्यता: परिभाषा 21.3 के सारणिक सूत्र (खंडों द्वारा लाप्लास प्रसार) से $e_I^* \wedge e_J^* \wedge e_K^*$ के दोनों कोष्ठकीकरण $1$-रूपों के जुड़े हुए कुल के बाह्य गुणन के बराबर होते हैं। चिह्न नियम: $\beta$ के $\ell$ गुणनखंडों में से प्रत्येक को $\alpha$ के $k$ गुणनखंडों के पार ले जाने पर प्रत्येक निकटवर्ती स्थानांतरण (सारणिक की दो पंक्तियों की अदला-बदली) एक चिह्न की कीमत लेता है, अतः कुल $(-1)^{k\ell}$। ∎

उपपत्ति. कार्यकीय सर्वसमिकाएँ परिभाषाओं से तत्काल निकलती हैं (गुणनफल नियम के लिए $1$-रूपों के बाह्य गुणनों पर सारणिक सूत्र से जाँचिए — $\det(\ell_i(uv_j)) = \det((u^*\ell_i)(v_j))$ — फिर द्विरैखिक रूप से बढ़ाइए)। (1) $u^*$ एक-विमीय $\Lambda^nE^*$ (प्रतिज्ञप्ति 21.4) को उसी पर भेजता है, अतः $u^*\alpha = c\,\alpha$, जहाँ $c$ $\alpha \neq 0$ से स्वतंत्र है; $\alpha = e_1^* \wedge \dots \wedge e_n^*$ और $(v_j) = (e_j)$ पर परीक्षा लेने से $c = \det(e_i^*(ue_j)) = \det u$ मिलता है। (2) $v_1, \dots, v_k \in E$ के लिए सदिश $u(v_1), \dots, u(v_k)$ $u$ के प्रतिबिंब में होते हैं, जिसकी विमा $< k$ है: अतः वे रैखिकतः आश्रित हैं, और कोई एकांतर रूप किसी आश्रित कुल पर लुप्त हो जाता है (आश्रित सदिश को दूसरों के अनुदिश फैलाइए)। ∎

उपपत्ति. (क) द्विरैखिकता से केवल $\omega = a\,\dd x_I$, $\eta = b\,\dd x_J$ की स्थिति देखनी पर्याप्त है। तब $\omega \wedge \eta = ab\,\dd x_I \wedge \dd x_J$ और

और $\dd b$ $1$-रूप को $\dd x_I$ के $k$ गुणनखंडों के पार ले जाने पर $(-1)^k$ (परिभाषा 21.5) की कीमत लगती है: अतः दूसरा पद $(-1)^k\,\omega \wedge \dd\eta$ है। (ख) किसी फलन के लिए: $\dd(\dd a) = \sum_{i,j} \frac{\partial^2a}{\partial x_j\partial x_i}\,\dd x_j \wedge \dd x_i$। श्वार्ट्स की मिश्रित आंशिक अवकलजों संबंधी प्रमेय (दूसरे वर्ष के खंड में सिद्ध; $a$ $\mathcal C^\infty$ है) से गुणांक $(i,j)$ में सममित है, जबकि $\dd x_j \wedge \dd x_i$ प्रतिसममित है: पदों $(i,j)$ और $(j,i)$ को युग्मित करने पर सब कुछ निरस्त हो जाता है। किसी व्यापक $\omega = \sum a_I\dd x_I$ के लिए: (क) से $\dd\dd\omega = \sum\dd(\dd a_I \wedge \dd x_I) = \sum(\dd\dd a_I\wedge\dd x_I - \dd a_I\wedge\dd(\dd x_I))$, और दोनों पद लुप्त हो जाते हैं ($\dd(\dd x_I) = 0$, क्योंकि गुणांक अचर है)। ∎

उपपत्ति. (क) ये रैखिक प्रत्यानयनों के बारे में बिंदुशः कथन हैं (प्रतिज्ञप्ति 21.6), और साथ में शृंखला नियम $D(\psi\circ\varphi)(x) = D\psi(\varphi(x))\,D\varphi(x)$। (ख) किसी $0$-रूप $f$ के लिए: $\varphi^*(\dd f) = \dd f \circ D\varphi = \dd(f \circ \varphi)$ शृंखला नियम ही है। $\omega = a\,\dd y_I$ के लिए: (क) से $\varphi^*\omega = (a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd\varphi_{i_k}$, अतः लाइब्नित्स नियम (प्रमेय 21.9(क)) और $\dd\dd\varphi_{i_r} = 0$ से:

(ग) बिंदुशः यह उच्चतम-घात रूपों पर ठीक $u^*\alpha = (\det u)\alpha$ है ($u = D\varphi(x)$ के साथ प्रतिज्ञप्ति 21.6(1))। ∎

उपपत्ति. हम एक रैखिक समस्थेय संकारक $h\colon \Omega^k(U) \to \Omega^{k-1}(U)$ बनाते हैं जिसके लिए

हो; तब $\dd\omega = 0$ होने पर $\omega = \dd(h\omega)$, और काम पूरा। $\omega = \sum_I a_I\,\dd x_I$ के लिए

रखिए (टोपी किसी गुणनखंड को हटा देती है; समाकल $x$ में चिकने हैं, समाकल के भीतर अवकलन से, प्रमेय 10.15, और सभी अवकलज संहतों पर प्रभावित हैं)। (21.1) की जाँच जीवन में एक ही बार का परिकलन है, अतः हम उसे पूरा करते हैं। $I$ स्थिर कीजिए और $\omega = a\,\dd x_I$ लीजिए (रैखिकता)। पहले,

जहाँ पहला समूह उन पदों को इकट्ठा करता है जिनमें $\dd$ गुणनखंड $x_{i_r}$ पर पड़ता है — बाह्य गुणन $\dd x_{i_r}\wedge\dd x_{I\setminus i_r}$ चिह्न $(-1)^{r-1}$ के साथ $\dd x_I$ को फिर से जोड़ देता है, जो पूर्व-गुणक को निरस्त कर देता है, और $r$ के $k$ मान गुणक $k$ दे देते हैं — जबकि दूसरा समूह उन पदों को इकट्ठा करता है जहाँ $\dd$ समाकल पर पड़ता है (शृंखला नियम $t\,\partial_ja(tx)$ बाहर निकाल देता है)। इसके बाद $\dd\omega = \sum_j\partial_ja\,\dd x_j\wedge\dd x_I$, और घात $k+1$ में $h$ की परिभाषा लगाने पर, जिसमें सूचकांक $j$ पहला स्थान लेता है:

$\dd(h\omega) + h(\dd\omega)$ में द्विक योग निरस्त हो जाते हैं, जो इसलिए कलन की मूल प्रमेय से

के बराबर है। तारकाकारता वहीं आई जहाँ आनी चाहिए थी: $t \in \intcc01$ के लिए $tx \in U$, ताकि $a(tx)$ सार्थक हो। ∎

उपपत्ति. (क) मान लीजिए $\gamma\colon V \to M$, $\delta\colon V' \to M$ ऐसे प्रत्यक्ष प्राचलन हैं जिनके प्रतिबिंबों में $\operatorname{supp}\omega\cap M$ है। संक्रमण $\tau = \delta^{-1}\circ\gamma$ $V, V'$ के संगत विवृत उपसमुच्चयों के बीच अवकल समरूपता है (संक्रमणों की चिकनाई: स्थानीय आलेख वर्णन के माध्यम से प्रमेय 20.3), और वहाँ $\gamma = \delta\circ\tau$, अतः $\gamma^*\omega = \tau^*(\delta^*\omega)$ (प्रमेय 21.11(क))। $\delta^*\omega = g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$ लिखिए; तब (प्रमेय 21.11(ग)) $\tau^*(\delta^*\omega) = (g\circ\tau)\,\det(D\tau)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$। दोनों चौखटें प्रत्यक्ष होने के कारण $D\tau$ किसी धनात्मक आधार को धनात्मक आधार पर भेजता है: अतः $\det D\tau > 0$, इसलिए $\det D\tau = \abs{\det D\tau}$, और चर परिवर्तन प्रमेय (प्रमेय 11.11) $\int(g\circ\tau)\abs{\det D\tau} = \int g$ दे देती है: अर्थात् दोनों समाकल सहमत हैं। अभिविन्यास के अस्तित्व का पूरा कारण यही है: चिह्न नियंत्रण के बिना याकोबीय और उसका निरपेक्ष मान भिन्न हो जाते हैं और समाकल अपरिभाषित हो जाता है। (ख) यदि $(\chi_i)$ और $(\tilde\chi_j)$ दो स्वीकार्य विभाजन (आवरण सहित) हों, तो (क) और परिमित योज्यता से $\sum_i\int\chi_i\omega = \sum_{i,j}\int\chi_i\tilde\chi_j\omega = \sum_j\int\tilde\chi_j\omega$, और प्रत्येक द्विक पद किसी भी चार्ट में परिकलनीय है। अंतिम कथन: यदि $\gamma$ $M$ के प्रत्यक्ष प्राचलनों में विचरे, तो $\Phi\circ\gamma$ $M'$ के प्रत्यक्ष प्राचलनों में विचरता है (अभिविन्यास तुलना स्थानीय रूप से अचर है, और प्रति घटक एक बिंदु पर नियत की गई है), और $(\Phi\circ\gamma)^*\omega = \gamma^*(\Phi^*\omega)$। ∎

उपपत्ति. प्रत्येक $x \in K$ किसी $W_{i(x)}$ में होता है जिसके साथ कोई संवृत गोला $\bar B(x, 2r_x) \subseteq W_{i(x)}$; और संहतता ऐसे $x_1, \dots, x_N$ निकाल देती है कि गोले $B(x_s, r_{x_s})$ $K$ को आच्छादित कर दें। प्रत्येक $s$ के लिए कोई उभार $\theta_s \in \mathcal C^\infty$ लीजिए जिसमें $0 \leq \theta_s \leq 1$, $\bar B(x_s, r_{x_s})$ पर $\theta_s = 1$, और $\operatorname{supp}\theta_s \subseteq B(x_s, 2r_{x_s})$ (त्रिज्या $\frac32r_{x_s}$ के गोले के सूचक का मृदुकरण कीजिए, प्रमेय 12.9)। प्रत्येक $s$ को $B(x_s, 2r_{x_s}) \subseteq W_{i(s)}$ वाले किसी एक सूचकांक $i(s)$ को सौंपिए और $\Theta_i = \sum_{i(s) = i}\theta_s$ रखिए। विवृत समुच्चय $\Omega_0 = \{\sum_j\Theta_j > \tfrac12\} \supseteq K$ पर फलन $\Theta_i/\sum_j\Theta_j$ काम कर देते हैं, पर वे केवल वहीं परिभाषित हैं; वैश्विक बनाने के लिए $\rho \in \mathcal C^\infty(\R^n)$ ऐसा लीजिए कि जहाँ $\sum_j\Theta_j \geq 1$ वहाँ $\rho = 0$ और जहाँ $\sum_j\Theta_j \leq \tfrac12$ वहाँ $\rho > 0$ ($1 - \sum_j\Theta_j$ के किसी उपयुक्त कर्तन का मृदुकरण कीजिए), और

रखिए। हर जगह हर $> 0$ है और $\{\sum_j\Theta_j \geq 1\}$ पर वह $\sum_j\Theta_j$ के बराबर है, जो $K$ का एक विवृत प्रतिवेश है ($K$ का प्रत्येक बिंदु किसी गोले $B(x_s, r_{x_s})$ में होता है जहाँ $\theta_s = 1$); और वहाँ $\sum_i\chi_i = 1$। आलंब और परिबंध स्पष्ट हैं। ∎

उपपत्ति. पहले अभिविन्यास का लेखा-जोखा: $\partial H^k$ के अनुदिश बहिर्मुखी अभिलंब $-e_k$ है, और

अर्थात् $\partial H^k$ की चौखट $(e_1, \dots, e_{k-1})$ प्रेरित अभिविन्यास के लिए ठीक तब धनात्मक है जब $k$ सम हो, जिससे कहा गया मिलान निकलता है। रैखिकता से $\eta = f\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd u_i}\wedge\dots\wedge\dd u_k$, $f \in \mathcal C^\infty_c(\R^k)$ लीजिए; तब $\dd\eta = (-1)^{i-1}\,\partial_if\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$ ($\dd u_i$ को उसके स्थान तक ले जाने पर $i - 1$ अदला-बदलियाँ लगती हैं)। दो स्थितियाँ, और दोनों टोनेली–फुबिनी (प्रमेय 11.6) तथा एक-चर वाली कलन की मूल प्रमेय से।

स्थिति $i < k$। पहले $\R$ पर $u_i$ में समाकलन करने पर: $\int_\R\partial_if\,\dd u_i = 0$ (संहत आलंब), अतः $\int_{H^k}\dd\eta = 0$। और $\{u_k = 0\}$ पर $\eta$ के प्रतिबंध में गुणनखंड $\dd u_k$ होता है, जो $0$ तक प्रतिबंधित हो जाता है (वहाँ $u_k$ अचर है): अतः $\int_{\partial H^k}\eta = 0$ भी।

स्थिति $i = k$। पहले $\intco0\infty$ पर $u_k$ में समाकलन करने पर:

परिसीमा वाली ओर $\eta$ $f(u', 0)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_{k-1}$ तक प्रतिबंधित हो जाता है, और प्रेरित अभिविन्यास मानक अभिविन्यास का $(-1)^k$ गुना होने के कारण $\int_{\partial H^k}\eta = (-1)^k\int_{\R^{k-1}}f(u',0)\,\dd u'$। दोनों पक्ष सहमत हैं। ∎

उपपत्ति. संहत $M$ को परिमित संख्या के प्रत्यक्ष चार्टों (आंतरिक या परिसीमा) के प्रतिबिंबों से आच्छादित कीजिए, और $\R^n$ के संगत विवृत समुच्चयों $W_i$ के अधीनस्थ इकाई विभाजन $(\chi_i)$ लीजिए (प्रमेयिका 21.20), जिसमें $M$ के किसी प्रतिवेश पर $\sum\chi_i = 1$ हो। उस प्रतिवेश पर $\dd(\sum\chi_i) = 0$, अतः

और दोनों पक्ष योज्य हैं, इसलिए केवल किसी एक ही चार्ट प्रतिबिंब में आलंबित रूप के लिए प्रमेय सिद्ध करना पर्याप्त है।

आंतरिक चार्ट। यदि $\R^k$ में विवृत $V$ के साथ $\operatorname{supp}\omega \cap M \subseteq \gamma(V)$ हो: $\eta = \gamma^*\omega$ को $\R^k$ तक शून्य से बढ़ाइए (चिकना, $V$ में संहत आलंब) और $\partial H^k$ से दूर आलंब के साथ प्रमेयिका 21.22 लगाइए ($V$ को विवृत ऊपरी अर्ध-समष्टि में स्थानांतरित कीजिए — अथवा केवल स्थिति $i < k$ का परिकलन पूरे $\R^k$ पर दोहराइए): अतः $\int_M\dd\omega = \int_{\R^k}\dd\eta = 0$, और $\int_{\partial M}\omega = 0$ क्योंकि $\omega$ $\partial M$ के निकट लुप्त हो जाता है।

परिसीमा चार्ट। यदि $\operatorname{supp}\omega\cap M \subseteq \gamma(V \cap H^k)$ हो: शून्य से बढ़ाए गए $\eta = \gamma^*\omega$ के साथ $\gamma^*(\dd\omega) = \dd\eta$ (प्रमेय 21.11(ख)), अतः परिभाषा 21.18 से:

अब दाईं ओर को $\int_{\partial M}\omega$ से पहचानना शेष है। परिसीमा $\beta(u') = \gamma(u', 0)$ से प्राचलित है, और $\beta^*\omega$ $\{u_k = 0\}$ पर $\eta$ का प्रतिबंध है (अंतर्वेशन $u' \mapsto (u', 0)$ के साथ $\gamma$ के संयोजन के अंतर्गत प्रत्यानयन)। अभिविन्यास तुलना दोनों ओर वही $(-1)^k$ है: चौखट $(\partial_1\beta, \dots, \partial_{k-1}\beta)$ $\partial M$ के प्रेरित अभिविन्यास में चार्ट में परिकलित चिह्न $\det(-e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) = (-1)^k$ के साथ बैठती है (बहिर्मुखी सदिश का प्रत्यानयन $-e_k$ है), जो ठीक वही चिह्न है जो $\partial H^k$ के प्रेरित अभिविन्यास को मानक $\R^{k-1}$ से जोड़ता है (प्रमेयिका 21.22)। दोनों चिह्न परिपाटियाँ निरस्त हो जाती हैं: अतः $\int_{\partial H^k}\eta = \int_{\partial M}\omega$। ∎