अंतःभाग, संवरक, परिसीमा কী?

उदाहरण 12.12

$\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$; $\mathring{\intcc{0}{1}} = \intoo{0}{1}$; $\partial\intoo{0}{1} = \{0, 1\}$। $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$ के लिए: $\overline A = A \cup \{0\}$, $\mathring A = \emptyset$, $\partial A = A \cup \{0\}$। $\Q$ के लिए: सघनता (प्रमेय 10.14) से प्रत्येक वास्तविक संख्या $\Q$ से अभिलग्न है, अतः $\overline{\Q} = \R$ जबकि $\mathring{\Q} = \emptyset$ (हर अंतराल में अपरिमेय संख्याएँ हैं): अर्थात् $\Q$ की परिसीमा पूरा $\R$ है।

उदाहरण 12.13 (पूरी शल्य-रचना)

मान लीजिए $A = \intoc{0}{1} \,\cup\, \bigl(\Q \cap \intoo{2}{3}\bigr) \,\cup\, \{4\}$। हम परिभाषा 12.10 के तीनों समुच्चय टुकड़ा-दर-टुकड़ा संगणित करते हैं।

अंतःभाग। $\intoo{0}{1}$ के बिंदु के चारों ओर पूरा अंतराल $A$ के भीतर है: अतः आंतरिक। बिंदु $1$: उसके चारों ओर हर अंतराल $1$ के दाईं ओर रिस जाता है, जहाँ $2$ तक $A$ में कुछ नहीं है: अतः आंतरिक नहीं। $\Q \cap \intoo{2}{3}$ का कोई बिंदु आंतरिक नहीं है (हर अंतराल में अपरिमेय संख्याएँ हैं, प्रमेय 10.14); और वियुक्त $4$ भी नहीं। अतः $\mathring A = \intoo{0}{1}$।

संवरक। $A$ के बिंदुओं की सीमाएँ: पूरा $\intcc{0}{1}$ ($\frac 1n \in A$ के साथ $0 = \lim \frac1n$); पूरा $\intcc{2}{3}$ (वहाँ की हर वास्तविक संख्या उस अंतराल की परिमेय संख्याओं की सीमा है, फिर सघनता); और $4$। इसके अतिरिक्त कुछ नहीं: $\intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ के बाहर के बिंदु की उस संवृत समुच्चय से दूरी धनात्मक है। अतः $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$।

परिसीमा। $\partial A = \overline A \setminus \mathring A = \{0, 1\} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$।

समापन का सार: तीनों संक्रियाएँ स्थानीय रूप से काम करती हैं — $A$ का हर टुकड़ा अपने स्वभाव के अनुसार योगदान करता है (ठोस अंतराल अपना भीतर रख लेता है, सघन-पर-छिद्रिल टुकड़ा पूरा का पूरा परिसीमा बन जाता है, और वियुक्त बिंदु शुद्ध परिसीमा है) — और $A$ का दो पंक्ति का रेखाचित्र कोई उपपत्ति लिखे जाने से पहले ही हर उत्तर बता देता है।

उदाहरण 12.15 (एक संवरक, यथार्थ रूप से संगणित)

मान लीजिए $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$ (उदाहरण 12.7 से)। दावा:

($\supseteq$) $\frac1m = \lim_n \bigl(\frac1m + \frac1n\bigr)$ और $0 = \lim_n \frac2n$: अनुक्रमीय अभिलक्षण से अभिलग्न। ($\subseteq$) मान लीजिए $x = \lim_k \bigl( \frac{1}{m_k} + \frac{1}{n_k}\bigr)$; प्रत्येक युग्म को इस प्रकार क्रमित कीजिए कि $m_k \leq n_k$। यदि $(m_k)$ अपरिबद्ध है, तो किसी उपानुक्रम पर $m_k \to \infty$, अतः $n_k \to \infty$ भी और $x = 0$। अन्यथा $(m_k)$ परिमित कितने मान लेता है, और उनमें से कोई एक, मान लीजिए $m$, अनंत बार; उस उपानुक्रम पर $\frac{1}{n_k} \to x - \frac1m$: यदि $(n_k)$ परिबद्ध है, तो वह कोई मान $n$ अनंत बार लेता है और $x = \frac1m + \frac1n \in G$; और यदि नहीं, तो $x = \frac1m$। हर स्थिति घोषित समुच्चय में आ गिरती है। समापन का सार: संवरक की संगणना सूचकांकों पर संहतता-शैली का स्थिति-विश्लेषण है — परिबद्ध सूचकांक का अर्थ है परिमित कितने मान (कबूतरखाना), अपरिबद्ध सूचकांक का अर्थ है कोई सीमा भाग जाना — और उत्तर सीमा-बिंदुओं की विशिष्ट दो-परत संरचना दिखा देता है: समुच्चय, उसकी पहली पीढ़ी की सीमाएँ, और उनकी सीमा $0$।