O que é Polinômio, grau? — Matemática

Definição 8.1 Matemática universitária — Graduação 1 · Capítulo 8 — Polinômios

Um polinômio com coeficientes em $K$ é uma soma formal

P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dots + a_n X^n = \sum_{k} a_k X^k,

com $a_k \in K$ todos nulos a partir de um certo índice. Com a adição natural e o produto

\Bigl(\sum_i a_i X^i\Bigr)\Bigl(\sum_j b_j X^j\Bigr) = \sum_k \Bigl(\sum_{i+j=k} a_i b_j\Bigr) X^k,

o conjunto $K[X]$ é um anel comutativo. O grau $\deg P$ de $P \neq 0$ é o maior $n$ com $a_n \neq 0$ ; $a_n$ é o coeficiente líder ( $P$ é mônico quando $a_n = 1$ ) e, por convenção, $\deg 0 = -\infty$ . Todo polinômio define uma função $x \mapsto P(x)$ em $K$ por substituição.

Exemplos

Exemplo 8.4

Divida $A = X^4 + X^3 - 2X + 1$ por $B = X^2 + 1$ :

X^4 + X^3 - 2X + 1 = (X^2 + 1)(X^2 + X - 1) + (-3X + 2).

(Cálculo: subtraia $X^2 B$ , depois $X B$ , depois $-B$ ; o resto $-3X + 2$ tem grau $1 < 2$ .)

Exemplo 8.9 (O truque do polinômio auxiliar)

Seja $P$ o polinômio de grau $\leq n$ com

P(k) = \frac{k}{k+1} \qquad (k = 0, 1, \dots, n) ;

ele existe e é único pela interpolação de Lagrange, abaixo. Quanto vale $P(n+1)$ ? Elimine os denominadores: o polinômio $Q = (X+1)P - X$ tem grau $\leq n + 1$ e se anula nos $n + 1$ pontos $0, 1, \dots, n$ , de modo que, pelo Teorema 8.7,

Q = c\,X(X-1)(X-2)\cdots(X-n)

para alguma constante $c$ . Avalie onde $Q$ é conhecido de modo independente: em $X = -1$ , $Q(-1) = 0 \cdot P(-1) + 1 = 1$ , ao passo que o produto vale $(-1)(-2)\cdots(-1-n) = (-1)^{n+1}(n+1)!$ ; portanto, $c = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$ . Agora avalie em $X = n + 1$ :

(n+2)\,P(n+1) - (n+1) = Q(n+1) = c\,(n+1)! = (-1)^{n+1} ,

de modo que $P(n+1) = \dfrac{(n+1) + (-1)^{n+1}}{n+2}$ : igual a $1$ para $n$ ímpar, e a $\frac{n}{n+2}$ para $n$ par — o polinômio interpolador não continua o padrão $\frac{n+1}{n+2}$ . O truque a reter: codifique os dados como raízes de um polinômio auxiliar, identifique a constante desconhecida num ponto fora dos dados e colha o resultado.

Exemplo 8.13 (Detectando raízes múltiplas com um mdc)

Quando nenhuma raiz é conhecida, a Proposição 8.11 ainda fornece um detector global de raízes múltiplas: $a$ é raiz múltipla de $P$ se, e somente se, é raiz comum de $P$ e $P'$ , de modo que $P$ tem raiz múltipla (em $\C$ ) se, e somente se, $\gcd(P, P') \neq 1$ — o que é computável pelo algoritmo de Euclides sem resolver nada. Exemplo: $P = X^3 - 3X + 2$ , $P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$ . Testando as raízes $\pm1$ de $P'$ dentro de $P$ : $P(1) = 0$ , mas $P(-1) = 4$ , logo

\gcd(P, P') = X - 1 :

a raiz $1$ é múltipla; dividindo duas vezes, $P = (X - 1)^2(X + 2)$ . O mdc chega a relatar o conjunto completo das raízes múltiplas, cada uma com multiplicidade abaixada de uma unidade — fato que todo sistema de álgebra computacional explora para “fatorar sem quadrados” antes de qualquer caça a raízes, e o gêmeo polinomial dos argumentos de ausência de raiz múltipla do Exercício 8.9.

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Exemplos

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