Apa itu Polinomial, derajat? — Matematika

Definisi 8.1 Matematika Universitas — Tahun 1 · Bab 8 — Polinomial

Sebuah polinomial berkoefisien di $K$ adalah jumlah formal

P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dots + a_n X^n = \sum_{k} a_k X^k,

dengan $a_k \in K$ yang bernilai nol mulai dari suatu indeks. Dengan penjumlahan yang wajar dan hasil kali

\Bigl(\sum_i a_i X^i\Bigr)\Bigl(\sum_j b_j X^j\Bigr) = \sum_k \Bigl(\sum_{i+j=k} a_i b_j\Bigr) X^k,

himpunan $K[X]$ menjadi ring komutatif. Derajat $\deg P$ dari $P \neq 0$ adalah $n$ terbesar dengan $a_n \neq 0$ ; lalu $a_n$ disebut koefisien utamanya ( $P$ disebut monik bila $a_n = 1$ ), dan menurut kesepakatan $\deg 0 = -\infty$ . Setiap polinomial mendefinisikan fungsi $x \mapsto P(x)$ pada $K$ lewat substitusi.

Contoh

Contoh 8.4

Bagilah $A = X^4 + X^3 - 2X + 1$ dengan $B = X^2 + 1$ :

X^4 + X^3 - 2X + 1 = (X^2 + 1)(X^2 + X - 1) + (-3X + 2).

(Hitung: kurangkan $X^2 B$ , lalu $X B$ , lalu $-B$ ; sisanya $-3X + 2$ berderajat $1 < 2$ .)

Contoh 8.9 (Kiat polinomial bantu)

Misalkan $P$ polinomial berderajat $\leq n$ dengan

P(k) = \frac{k}{k+1} \qquad (k = 0, 1, \dots, n) ;

yang ada dan tunggal menurut interpolasi Lagrange di bawah. Berapa $P(n+1)$ ? Hilangkan penyebutnya: polinomial $Q = (X+1)P - X$ berderajat $\leq n + 1$ dan lenyap di $n + 1$ titik $0, 1, \dots, n$ , jadi menurut Teorema 8.7

Q = c\,X(X-1)(X-2)\cdots(X-n)

untuk suatu konstanta $c$ . Hitung nilainya di tempat $Q$ diketahui secara mandiri: di $X = -1$ , $Q(-1) = 0 \cdot P(-1) + 1 = 1$ , sedangkan hasil kalinya sama dengan $(-1)(-2)\cdots(-1-n) = (-1)^{n+1}(n+1)!$ ; sehingga $c = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$ . Sekarang hitung nilainya di $X = n + 1$ :

(n+2)\,P(n+1) - (n+1) = Q(n+1) = c\,(n+1)! = (-1)^{n+1} ,

jadi $P(n+1) = \dfrac{(n+1) + (-1)^{n+1}}{n+2}$ : yang sama dengan $1$ untuk $n$ ganjil, dan $\frac{n}{n+2}$ untuk $n$ genap — jadi polinomial penginterpolasinya tidak melanjutkan pola $\frac{n+1}{n+2}$ . Kiat yang perlu diingat: sandikan datanya sebagai akar sebuah polinomial bantu, kenali konstanta yang belum diketahui pada sebuah titik di luar datanya, lalu panenlah hasilnya.

Contoh 8.13 (Mendeteksi akar ganda lewat FPB)

Ketika tak ada akar yang diketahui, Proposisi 8.11 tetap memberikan pendeteksi akar ganda yang global: $a$ merupakan akar ganda $P$ jika dan hanya jika ia akar persekutuan $P$ dan $P'$ , sehingga $P$ mempunyai akar ganda (di $\C$ ) jika dan hanya jika $\gcd(P, P') \neq 1$ — yang dapat dihitung dengan algoritma Euclid tanpa menyelesaikan apa pun. Contohnya: $P = X^3 - 3X + 2$ , $P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$ . Dengan menguji akar $\pm1$ dari $P'$ di dalam $P$ : $P(1) = 0$ tetapi $P(-1) = 4$ , jadi

\gcd(P, P') = X - 1 :

jadi akar $1$ bersifat ganda; dan dengan membaginya dua kali, $P = (X - 1)^2(X + 2)$ . FPB itu bahkan melaporkan seluruh himpunan akar gandanya, masing-masing dengan kegandaan yang berkurang satu — fakta yang dimanfaatkan setiap sistem aljabar komputer untuk “memfaktorkan bebas kuadrat” sebelum berburu akar, dan ia kembaran polinomial bagi argumen tanpa akar ganda pada Latihan 8.9.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait