Qu'est-ce que « Polynôme, degré » ? — Mathématiques

Définition 8.1 Mathématiques universitaires — Licence 1 · Chapitre 8 — Polynômes

Un polynôme à coefficients dans $K$ est une somme formelle

P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dots + a_n X^n = \sum_{k} a_k X^k,

avec $a_k \in K$ tous nuls à partir d’un certain rang. Munie de l’addition naturelle et du produit

\Bigl(\sum_i a_i X^i\Bigr)\Bigl(\sum_j b_j X^j\Bigr) = \sum_k \Bigl(\sum_{i+j=k} a_i b_j\Bigr) X^k,

l’ensemble $K[X]$ est un anneau commutatif. Le degré $\deg P$ de $P \neq 0$ est le plus grand $n$ tel que $a_n \neq 0$ ; $a_n$ en est le coefficient dominant ( $P$ est unitaire lorsque $a_n = 1$ ), et par convention $\deg 0 = -\infty$ . Tout polynôme définit une fonction $x \mapsto P(x)$ sur $K$ par substitution.

Exemples

Exemple 8.4

Divisons $A = X^4 + X^3 - 2X + 1$ par $B = X^2 + 1$ :

X^4 + X^3 - 2X + 1 = (X^2 + 1)(X^2 + X - 1) + (-3X + 2).

(Le calcul : on retranche $X^2 B$ , puis $X B$ , puis $-B$ ; le reste $-3X + 2$ est de degré $1 < 2$ .)

Exemple 8.9 (L’astuce du polynôme auxiliaire)

Soit $P$ le polynôme de degré $\leq n$ vérifiant

P(k) = \frac{k}{k+1} \qquad (k = 0, 1, \dots, n) ;

il existe et est unique par l’interpolation de Lagrange ci-dessous. Que vaut $P(n+1)$ ? Chassons les dénominateurs : le polynôme $Q = (X+1)P - X$ est de degré $\leq n + 1$ et s’annule aux $n + 1$ points $0, 1, \dots, n$ , donc par le Théorème 8.7

Q = c\,X(X-1)(X-2)\cdots(X-n)

pour une certaine constante $c$ . Évaluons là où $Q$ est connu par ailleurs : en $X = -1$ , $Q(-1) = 0 \cdot P(-1) + 1 = 1$ , tandis que le produit vaut $(-1)(-2)\cdots(-1-n) = (-1)^{n+1}(n+1)!$ ; d’où $c = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$ . Évaluons maintenant en $X = n + 1$ :

(n+2)\,P(n+1) - (n+1) = Q(n+1) = c\,(n+1)! = (-1)^{n+1} ,

donc $P(n+1) = \dfrac{(n+1) + (-1)^{n+1}}{n+2}$ : cela vaut $1$ pour $n$ impair, et $\frac{n}{n+2}$ pour $n$ pair — le polynôme interpolateur ne prolonge pas le motif $\frac{n+1}{n+2}$ . L’astuce à retenir : coder les données comme racines d’un polynôme auxiliaire, identifier la constante inconnue en un point hors des données, et récolter.

Exemple 8.13 (Détecter les racines multiples par un PGCD)

Lorsqu’aucune racine n’est connue, la Proposition 8.11 fournit encore un détecteur global de racines multiples : $a$ est racine multiple de $P$ si et seulement si c’est une racine commune à $P$ et $P'$ , donc $P$ a une racine multiple (dans $\C$ ) si et seulement si $\gcd(P, P') \neq 1$ — ce qui se calcule par l’algorithme d’Euclide sans rien résoudre. Un échantillon : $P = X^3 - 3X + 2$ , $P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$ . Testons les racines $\pm1$ de $P'$ dans $P$ : $P(1) = 0$ mais $P(-1) = 4$ , donc

\gcd(P, P') = X - 1 :

la racine $1$ est multiple ; en divisant deux fois, $P = (X - 1)^2(X + 2)$ . Le PGCD livre même l’ensemble complet des racines multiples, chacune avec sa multiplicité abaissée d’une unité — fait que tout système de calcul formel exploite pour « factoriser sans facteur carré » avant toute recherche de racines, et jumeau polynomial des arguments d’absence de racine multiple de l’Exercice 8.9.

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Exemples

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