¿Qué es Polinomio, grado? — Matemáticas

Definición 8.1 Matemáticas universitarias — Grado 1 · Capítulo 8 — Polinomios

Un polinomio con coeficientes en $K$ es una suma formal

P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dots + a_n X^n = \sum_{k} a_k X^k,

con $a_k \in K$ todos nulos a partir de cierto índice. Con la suma natural y el producto

\Bigl(\sum_i a_i X^i\Bigr)\Bigl(\sum_j b_j X^j\Bigr) = \sum_k \Bigl(\sum_{i+j=k} a_i b_j\Bigr) X^k,

el conjunto $K[X]$ es un anillo conmutativo. El grado $\deg P$ de $P \neq 0$ es el mayor $n$ con $a_n \neq 0$ ; $a_n$ es el coeficiente principal ( $P$ es mónico cuando $a_n = 1$ ), y por convenio $\deg 0 = -\infty$ . Todo polinomio define una función $x \mapsto P(x)$ en $K$ por sustitución.

Ejemplos

Ejemplo 8.4

Divídase $A = X^4 + X^3 - 2X + 1$ entre $B = X^2 + 1$ :

X^4 + X^3 - 2X + 1 = (X^2 + 1)(X^2 + X - 1) + (-3X + 2).

(Cálculo: réstese $X^2 B$ , después $X B$ y después $-B$ ; el resto $-3X + 2$ tiene grado $1 < 2$ .)

Ejemplo 8.9 (El truco del polinomio auxiliar)

Sea $P$ el polinomio de grado $\leq n$ con

P(k) = \frac{k}{k+1} \qquad (k = 0, 1, \dots, n) ;

existe y es único por la interpolación de Lagrange de más abajo. ¿Cuánto vale $P(n+1)$ ? Quítense denominadores: el polinomio $Q = (X+1)P - X$ tiene grado $\leq n + 1$ y se anula en los $n + 1$ puntos $0, 1, \dots, n$ , luego, por el Teorema 8.7,

Q = c\,X(X-1)(X-2)\cdots(X-n)

para cierta constante $c$ . Evalúese donde $Q$ se conoce de forma independiente: en $X = -1$ , $Q(-1) = 0 \cdot P(-1) + 1 = 1$ , mientras que el producto vale $(-1)(-2)\cdots(-1-n) = (-1)^{n+1}(n+1)!$ ; de ahí $c = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$ . Evalúese ahora en $X = n + 1$ :

(n+2)\,P(n+1) - (n+1) = Q(n+1) = c\,(n+1)! = (-1)^{n+1} ,

de modo que $P(n+1) = \dfrac{(n+1) + (-1)^{n+1}}{n+2}$ : igual a $1$ para $n$ impar y a $\frac{n}{n+2}$ para $n$ par — el polinomio interpolador no continúa el patrón $\frac{n+1}{n+2}$ . El truco que hay que recordar: codifíquense los datos como raíces de un polinomio auxiliar, identifíquese la constante desconocida en un punto ajeno a los datos, y recójase la cosecha.

Ejemplo 8.13 (Detectar raíces múltiples con un mcd)

Cuando no se conoce ninguna raíz, la Proposición 8.11 sigue dando un detector global de raíces múltiples: $a$ es raíz múltiple de $P$ si y solo si es raíz común de $P$ y $P'$ , luego $P$ tiene una raíz múltiple (en $\C$ ) si y solo si $\gcd(P, P') \neq 1$ — calculable con el algoritmo de Euclides sin resolver nada. Muestra: $P = X^3 - 3X + 2$ , $P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$ . Probando las raíces $\pm1$ de $P'$ dentro de $P$ : $P(1) = 0$ pero $P(-1) = 4$ , luego

\gcd(P, P') = X - 1 :

la raíz $1$ es múltiple; dividiendo dos veces, $P = (X - 1)^2(X + 2)$ . El mcd informa incluso del conjunto completo de raíces múltiples, cada una con la multiplicidad rebajada en uno — hecho que aprovecha todo sistema de álgebra por computador para «factorizar libre de cuadrados» antes de buscar raíz alguna, y el gemelo polinómico de los argumentos sin raíces múltiples del Ejercicio 8.9.

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Ejemplos

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