अभिलक्षणिक मान क्या है? — गणित

परिभाषा 3.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 3 — अंतःरूपांतरणों का समानयन

$\lambda \in K$ $u$ का अभिलक्षणिक मान कहलाता है जब किसी $x \neq 0$ (जिसे अभिलक्षणिक सदिश कहते हैं) के लिए $u(x) = \lambda x$ हो; अभिलक्षणिक समष्टि $E_\lambda(u) = \ker(u - \lambda\,\mathrm{id})$ है। अभिलक्षणिक मानों का समुच्चय वर्णक्रम $\operatorname{Sp}(u)$ कहलाता है। कोई उपसमष्टि $F$ स्थायी कहलाती है जब $u(F) \subseteq F$ हो; अभिलक्षणिक समष्टियाँ स्थायी होती हैं, और स्थायी उपसमष्टियाँ प्रेरित अंतःरूपांतरण $u|_F$ देती हैं।

आव्यूह A = psmallmatrix2 & 1\\ 1 & 2 psmallmatrix समतल पर क्रिया करते हुए: सामान्य सदिश e_1 अपनी रेखा से हट जाता है, परंतु अभिलक्षणिक दिशाएँ v_1 = (1,1) और v_2 = (1,-1) केवल खिंचती हैं — 3 से और 1 से (अतः Av_2 = v_2: बिंदुकित प्रतिबिंब v_2 से मेल खाता है)। विकर्णन आधार (v_1, v_2) पर जाना है, जहाँ A diag(3, 1) बन जाता है। — आव्यूह $A = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{smallmatrix}\right)$ समतल पर क्रिया करते हुए: सामान्य सदिश $e_1$ अपनी रेखा से हट जाता है, परंतु अभिलक्षणिक दिशाएँ $v_1 = (1,1)$ और $v_2 = (1,-1)$ केवल खिंचती हैं — $3$ से और $1$ से (अतः $Av_2 = v_2$ : बिंदुकित प्रतिबिंब $v_2$ से मेल खाता है)। विकर्णन आधार $(v_1, v_2)$ पर जाना है, जहाँ $A$ $\operatorname{diag}(3, 1)$ बन जाता है।

उदाहरण

उदाहरण 3.4 (एक ही $\chi$ , भिन्न ज्यामिति)

आव्यूह

\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} \qquad\text{तथा}\qquad \begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}

का अभिलक्षणिक बहुपद $(X - 2)^2$ , अनुरेख, सारणिक और वर्णक्रम एक ही हैं — फिर भी वे सदृश नहीं हैं: पहले का $E_2$ विमा $2$ का है (ज्यामितीय बहुलता $2$ ), दूसरे का विमा $1$ का। अभिलक्षणिक बहुपद केवल बीजीय बहुलताएँ देखता है; अभिलक्षणिक समष्टियों की विमाएँ सूक्ष्मतर अपरिवर्त्य हैं, और न्यूनतम बहुपद निर्णय करता है ( $X - 2$ बनाम $(X - 2)^2$ )। विकर्णनीयता की हर चर्चा के लिए सार: $\chi$ उम्मीदवारों की सूची बनाता है, पर मत केंद्रक डालते हैं।

उदाहरण 3.8 (विकर्णन काम पर)

$A = I + J = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2\end{smallmatrix}\right)$ , जहाँ $J$ सर्व-एक आव्यूह है: $\operatorname{Sp}(J) = \{3, 0\}$ से (उदाहरण 2.19), $\operatorname{Sp}(A) = \{4, 1\}$ , और अभिलक्षणिक समष्टियाँ $\R(1,1,1)$ तथा समतल $\{x + y + z = 0\}$ हैं: विमाएँ $1 + 2 = 3$ , अतः विकर्णनीय (प्रमेय 3.6 (2))। बिना किसी आधार-परिवर्तन आव्यूह के घातें: $\R(1,1,1)$ पर प्रक्षेपक $\Pi = J/3$ लेने पर,

A = 4\,\Pi + 1\cdot(I - \Pi) \quad\Longrightarrow\quad A^k = 4^k\,\Pi + (I - \Pi) = \frac{4^k - 1}{3}\,J + I .

( $k = 1$ जाँचिए: $\frac{4-1}3 J + I = A$ ।) समापन दृष्टि: जब अभिलक्षणिक समष्टियाँ दिखाई देती हों, तब वर्णक्रमीय प्रक्षेपक घातें $PDP^{-1}$ से कहीं तेज़ी से परिकलित कर देते हैं — और सूत्र गतिकी भी दिखा देता है: $A^k$ $(1,1,1)$ के अनुदिश $4^k$ की तरह बढ़ता है और लांबिक समतल पर जहाँ का तहाँ रहता है।

उदाहरण 3.10 (हाथ से त्रिभुजन)

$B = \begin{pmatrix}3 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ : $\chi_B = X^2 - 4X + 4 = (X - 2)^2$ , और $\ker(B - 2I) = \ker\left(\begin{smallmatrix}1 & -1\\ 1 & -1\end{smallmatrix}\right)$ $e_1' = (1, 1)$ से फैली रेखा है: अर्थात् एक अभिलक्षणिक मान, और एक-विमीय अभिलक्षणिक समष्टि — विकर्णनीय नहीं, पर त्रिभुजनीय (प्रमेय 3.9)। आधार को $e_2' = (1, 0)$ से पूरा कीजिए और परिकलित कीजिए:

u(e_1') = (2, 2) = 2e_1', \qquad u(e_2') = (3, 1) = 1\cdot e_1' + 2\, e_2' ,

अतः आधार $(e_1', e_2')$ में आव्यूह $T = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{smallmatrix}\right)$ है। समापन दृष्टि: $T$ का विकर्ण बाध्य था (दोनों प्रविष्टियों को दोहरा अभिलक्षणिक मान $2$ होना ही था); केवल कोने वाली प्रविष्टि $e_2'$ के चुनाव पर निर्भर थी, और $e_2'$ का मापन बदलकर उसे कोई भी अशून्य मान बनाया जा सकता है — अड़ियल “ $1$ ” उस शून्यंभावी भाग की परछाईं है जिसे डनफ़र्ड अलग करके दिखाएगा।

अध्याय में पढ़ें →