योग्य कुल क्या है? — गणित

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परिभाषा 7.8 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · অধ্যায় 7 — अनुक्रम और श्रेणियाँ

मान लीजिए $I$ कोई गणनीय सूचकांक समुच्चय है। अऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का कुल $(u_i)_{i \in I}$ योग्य कहलाता है जब उसके परिमित आंशिक योग परिबद्ध हों; और उसका योग

\sum_{i \in I} u_i = \sup_{F \subseteq I \text{ परिमित}} \sum_{i \in F} u_i \in \intcc{0}{+\infty} .

है। वास्तविक अथवा सम्मिश्र (या बानाख सदिश) संख्याओं का कुल तब योग्य कहलाता है जब $(\norm{u_i})$ योग्य हो; और तब उसका योग धनात्मक/ऋणात्मक (अथवा वास्तविक/काल्पनिक) भागों में बाँटकर परिभाषित होता है — समतुल्य रूप से, $I$ की सभी गणनाओं $\sigma$ पर $\sum_{n} u_{\sigma(n)}$ के साझे मान के रूप में (नीचे देखिए)।

উদাহরণ

उदाहरण 7.10 (विकर्ण गिनती से योग्यता)

किन $s > 0$ के लिए कुल $\bigl((m + n)^{-s}\bigr)_{m, n \geq 1}$ योग्य है? परिमित आंशिक योगों को विकर्णों $m + n = k$ के अनुसार समूहबद्ध कीजिए: विकर्ण $k$ पर $k - 1$ युग्म हैं और हर एक $k^{-s}$ का योगदान देता है, अतः परिमित योग ठीक

\sum_{k \geq 2} \frac{k - 1}{k^{s}} ,

से परिबद्ध हैं (और उसे पूरा भी कर देते हैं) — यह धनात्मक पदों वाली श्रेणी है जो $k^{1-s}$ के समतुल्य है: अतः योग्य तभी जब $s - 1 > 1$ , अर्थात् $s > 2$ । द्विविमीय सूचकांक पूरी एक घात खा जाता है: पदों का कोई समतल किसी रेखा से “एक विमा अधिक अपसारी” होता है — और योग्यता का निर्णय सूचकांक समुच्चय की गिनती-ज्यामिति करती है, अलग-अलग पदों का आकार नहीं। (इसी जनगणना से यह भी दिखता है कि $\bigl((m^2 + n^2)^{-1}\bigr)$ योग्य नहीं है: विकर्ण $m + n = k$ पर हर पद कम से कम $k^{-2}$ है, और $(k-1)\cdot k^{-2}$ हरात्मक श्रेणी की तरह जुड़ता है।)

उदाहरण 7.12 (रंगे हाथ पकड़ा गया एक पुनर्विन्यास)

एकांतर हरात्मक श्रेणी का योग $\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$ है (प्रथम वर्ष का खंड)। उसे “एक धनात्मक, दो ऋणात्मक” के रूप में पुनर्विन्यस्त कीजिए:

1 - \frac12 - \frac14 + \frac13 - \frac16 - \frac18 + \frac15 - \cdots

तीन-तीन के हर खंड को समूहबद्ध करने पर

\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{4k-2} - \frac1{4k} = \frac{1}{4k-2} - \frac{1}{4k} = \frac12\Bigl(\frac{1}{2k-1} - \frac1{2k}\Bigr),

अतः पुनर्विन्यस्त श्रेणी $\frac12\ln 2$ पर अभिसरित होती है — अर्थात् मूल योग का आधा, और वह भी ठीक उन्हीं पदों से। जो श्रेणियाँ निरपेक्ष रूप से अभिसारी नहीं हैं वे अपने पदों का क्रम याद रखती हैं; और योग्य कुल ठीक वे हैं जो नहीं रखते।

उदाहरण 7.17 (एक दोहरे योग का मूल्यांकन)

वास्तविक $s > 1$ के लिए $\zeta(s) = \sum_{n\geq1} n^{-s}$ लीजिए। दोहरे योग से भाजक गिनने पर — $(m,n) \in (\N^*)^2$ पर कुल $(m^{-s}n^{-s})$ योग्य है (अभिसारी धनात्मक श्रेणियों का गुणन) — और गुणनफल $q = mn$ के अनुसार समूहबद्ध करने पर:

\zeta(s)^2 = \sum_{m,n} \frac{1}{(mn)^s} = \sum_{q=1}^{\infty} \frac{d(q)}{q^s},

जहाँ $d(q)$ $q$ के भाजकों की संख्या है। योग्य कुल संचयशास्त्र को विश्लेषण में बदल देते हैं।

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উদাহরণ

সম্পর্কিত পরিভাষা-শব্দ