विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · Grado — Año 2

16अवकल समीकरण

प्रथम वर्ष ने वे रैखिक समीकरण हल किए थे जिनके सूत्र मिल जाते हैं। यह अध्याय वह देता है जो सूत्र नहीं दे सकते: कोशी–लिप्शिट्स प्रमेय — $y' = f(t, y)$ के लिए अस्तित्व और अद्वितीयता — जो बानाख अचल बिंदु प्रमेय से सिद्ध है, ठीक वैसे ही जैसा अध्याय 4 में वचन दिया गया था; और फिर रैखिक निकायों $X' = A(t)X + B(t)$ का पूरा सिद्धांत, जिसमें आव्यूह घातांकी और व्रोंस्कियन परिकलन के इंजन हैं।

16.1 कोशी–लिप्शिट्स प्रमेय

प्रमेय 16.1 (कोशी–लिप्शिट्स, वैश्विक लिप्शिट्स रूप)

मान लीजिए $I$ कोई खंड है, $f \colon I \times \R^n \to \R^n$ संतत है और अपने दूसरे चर में पहले चर के सापेक्ष एकसमान रूप से लिप्शिट्स: अर्थात् सभी $t \in I$ के लिए $\norm{f(t, y) - f(t, z)} \leq k\,\norm{y - z}$ । तब प्रत्येक $(t_0, y_0) \in I \times \R^n$ के लिए कोशी समस्या

y' = f(t, y), \qquad y(t_0) = y_0

का ठीक एक हल $y \colon I \to \R^n$ है, जो $C^1$ वर्ग का है।

उपपत्ति. पुनःकथन। कोई संतत $y$ इस समस्या को हल करता है तभी जब वह समाकल समीकरण

y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f\bigl(s, y(s)\bigr)\,\dd s =: T(y)(t)

पूरा करे (दोनों दिशाओं में कलन की मूल प्रमेय; और समाकल समीकरण का संतत हल स्वतः $C^1$ होता है)।

पुनःमानदंडन के बाद एक संकुचन। बानाख समष्टि $E = C(I, \R^n)$ पर भारित मानदंड

N(y) = \sup_{t \in I}\; \eu^{-2k\abs{t - t_0}}\,\norm{y(t)} ,

लीजिए (जो उच्चतम मानदंड के तुल्य है: भार खंड $I$ पर ऊपर और नीचे से परिबद्ध है, अतः $E$ पूर्ण बनी रहती है), और $y, z \in E$ तथा (मान लीजिए) $t \geq t_0$ के लिए आकलन कीजिए:

\norm{T(y)(t) - T(z)(t)} \leq \int_{t_0}^{t} k\,\norm{y(s) - z(s)}\,\dd s \leq k\,N(y - z)\int_{t_0}^{t} \eu^{2k(s - t_0)}\dd s \leq \frac{N(y-z)}{2}\,\eu^{2k(t - t_0)} .

$\eu^{-2k(t - t_0)}$ से गुणा करके उच्चतम लीजिए (स्थिति $t < t_0$ सममित है): $N\bigl(T(y) - T(z)\bigr) \leq \frac12 N(y - z)$ : अर्थात् $T$ पूर्ण $(E, N)$ का $\frac12$ -संकुचन है। बानाख अचल बिंदु प्रमेय (प्रमेय 4.12) अद्वितीय अचल बिंदु दे देती है: वही अद्वितीय हल है। ∎

टिप्पणी 16.2

केवल $C^1$ (स्थानीय रूप से लिप्शिट्स) $f$ के लिए प्रमेय स्थानीय रूप से सत्य है, जहाँ किसी महत्तम विवृत अंतराल पर कोई महत्तम हल होता है; और हल परिमित समय में फट सकते हैं ( $y' = y^2$ , $y(0) = 1$ : $y(t) = \frac{1}{1-t}$ , और $t = 1$ पर ग़ायब)। पूरा खंड वैश्विक लिप्शिट्स परिकल्पना ही ख़रीदती है। दो परिणाम गढ़ लेने योग्य हैं: लिप्शिट्स क्षेत्र वाले किसी अवकल समीकरण के हल-वक्र कभी नहीं कटते; और किसी रैखिक समांगी समीकरण का कहीं भी लुप्त होने वाला एकमात्र हल शून्य फलन है।

उदाहरण 16.3 (अद्वितीयता एक प्रमेय है: एक रिसता हुआ क्षेत्र)

$y(0) = 0$ के साथ $y' = 2\sqrt{\abs y}$ लीजिए। शून्य फलन उसे हल करता है; और

y(t) = \begin{cases} 0 & t \leq 0,\\ t^2 & t \geq 0, \end{cases}

भी, जो $C^1$ है (दोनों टुकड़ों का अवकलज जोड़-बिंदु पर $0$ है) तथा $t > 0$ के लिए $y'(t) = 2t = 2\sqrt{t^2}$ पूरा करता है — वस्तुतः उड़ान में देर करके हर छोड़ने-समय $c \geq 0$ के लिए एक हल मिल जाता है: अर्थात् एक ही आरंभिक आँकड़े से होकर अपरिमित हल। प्रमेय 16.1 के साथ कोई विरोधाभास नहीं: $y = 0$ के पास

\frac{\abs{2\sqrt y - 2\sqrt z}}{\abs{y - z}} = \frac{2}{\sqrt y + \sqrt z} \longrightarrow +\infty ,

अर्थात् क्षेत्र $y$ में लिप्शिट्स नहीं है, और प्रमेय चुप है। समापन दृष्टि: भौतिक पाठ यह है कि गुरुत्व के अधीन ख़ाली होती बाल्टी को उलटा चलाया जाए — ख़ाली अवस्था से यह नहीं बताया जा सकता कि वह भरनी कब शुरू हुई थी; अवकल समीकरणों का नियतिवाद ठीक लिप्शिट्स शर्त है, प्रकृति का नियम नहीं।

16.2 रैखिक निकाय

प्रमेय 16.4 (रैखिक निकायों की संरचना)

मान लीजिए $A \colon I \to \mathcal{M}_n(\R)$ और $B \colon I \to \R^n$ किसी अंतराल $I$ पर संतत हैं। प्रत्येक $(t_0, X_0)$ के लिए समस्या

X' = A(t)X + B(t), \qquad X(t_0) = X_0

का पूरे $I$ पर ठीक एक हल है। समांगी निकाय ( $B = 0$ ) के हल ठीक $n$ विमा की सदिश समष्टि $\mathcal{S}_H$ बनाते हैं, और मूल्यांकन $X \mapsto X(t_0)$ तुल्याकारिता $\mathcal{S}_H \to \R^n$ है; और सामान्य हल $=$ विशिष्ट $+$ समांगी।

उपपत्ति. $t_0$ वाले प्रत्येक खंड $J \subseteq I$ पर: $f(t, X) = A(t)X + B(t)$ संतत है और $X$ में अचर $k = \sup_J \vertiii{A(t)}$ के साथ लिप्शिट्स (जो परिमित है: खंड पर संतत): अतः प्रमेय 16.1 $J$ पर लागू होती है; और $J$ को $I$ में फैलाते जाने पर अद्वितीयता उन हलों को $I$ पर एक ही हल में जोड़ देती है। हल-समुच्चय तथा मूल्यांकन प्रतिचित्रण की रैखिकता स्पष्ट है; और मूल्यांकन अस्तित्व से आच्छादक तथा अद्वितीयता से एकैकी है: $\dim \mathcal{S}_H = n$ । आनत संरचना प्रथम वर्ष का अक्षरशः वही तर्क है। ∎

उदाहरण 16.5 (मूल्यांकन तुल्याकारिता, मूर्त रूप में)

$y'' + y = 0$ के लिए, जिसे $X = (y, y')$ के साथ निकाय $X' = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}X$ के रूप में देखा गया है: प्रमेय कहती है कि हल-समष्टि एक समतल है और $X \mapsto X(0) = (y(0), y'(0))$ $\R^2$ पर तुल्याकारिता है। हल $\cos$ और $\sin$ $(1, 0)$ तथा $(0, 1)$ — अर्थात् $\R^2$ का विहित आधार — पर मूल्यांकित होते हैं, अतः वे हल-समष्टि का आधार बनाते हैं, और हर हल

y(t) = y(0)\cos t + y'(0)\sin t ,

है, जहाँ गुणांक सीधे आरंभिक आँकड़ों से पढ़ लिए जाते हैं, कोई रैखिक निकाय हल नहीं करना पड़ता। समापन दृष्टि: वह मूलभूत निकाय चुनना जिसके आरंभिक मान विहित आधार हों (यहाँ $\cos, \sin$ ), ठीक $\eu^{tA}$ के स्तंभ चुनना है; और मूल्यांकन तुल्याकारिता ही वह कारण है कि आरंभिक शर्तें प्रक्षेप-पथों का प्राचलन कर देती हैं — रैखिक समीकरणों के लिए “नियतिवादी गतिकी” की ज्यामितीय सामग्री यही है।

परिभाषा 16.6 (व्रोंस्कियन)

समांगी निकाय के हलों $X_1, \dots, X_n$ के लिए व्रोंस्कियन $W(t) = \det\bigl(X_1(t), \dots, X_n(t)\bigr)$ होता है। ऊपर की तुल्याकारिता से या तो $W$ सर्वथा लुप्त होता है (कुल परस्पर जुड़ा है) या कभी नहीं (कोई मूलभूत निकाय); और परिमाणात्मक रूप में $W' = \operatorname{tr}\bigl(A(t)\bigr) W$ , अतः

W(t) = W(t_0)\,\exp\Bigl(\int_{t_0}^{t} \operatorname{tr} A(s)\,\dd s\Bigr) \quad \text{(ल्यूविल का सूत्र)}.

उदाहरण 16.7 (किसी ऑयलर समीकरण पर ल्यूविल की जाँच)

$\intoo{0}{\infty}$ पर समीकरण $t^2y'' + ty' - y = 0$ के हल $y_1(t) = t$ और $y_2(t) = \frac1t$ हैं (प्रतिस्थापित कीजिए)। उनका व्रोंस्कियन:

W(t) = \det\begin{pmatrix} t & \tfrac1t\\[2pt] 1 & -\tfrac{1}{t^2}\end{pmatrix} = -\frac1t - \frac1t = -\frac2t ,

जो कभी शून्य नहीं: अर्थात् मूलभूत निकाय। अब ल्यूविल जाँचिए: सामान्यीकृत रूप $y'' + \frac1t\,y' - \frac{1}{t^2}\,y = 0$ में सहचर आव्यूह $A(t) = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ \frac{1}{t^2} & -\frac1t\end{pmatrix}$ का अनुरेख $-\frac1t$ है, अतः

W(t) = W(1)\exp\Bigl(-\int_1^t\frac{\dd s}{s}\Bigr) = -2\,\eu^{-\ln t} = -\frac2t . \checkmark

समापन दृष्टि: ल्यूविल किसी हल के ज्ञात होने से पहले ही व्रोंस्कियन का आकार बता देती है — यहाँ कि $W$ $\frac{c}{t}$ होना चाहिए; और यही कोटि-घटाने की विधि (प्रतिज्ञप्ति 16.15) को चलाता है, जहाँ $y_1$ और व्रोंस्कियन का रूप जानने से $y_2$ एक ही समाकलन में मिल जाता है।

ल्यूविल के सूत्र की उपपत्ति. $M' = AM$ सहित $W(t) = \det M(t)$ । सारणिक को स्तंभों के बहुरैखिक फलन के रूप में अवकलित करने पर,

W'(t) = \sum_j \det(X_1, \dots, X_j', \dots, X_n) = \sum_j \det(X_1, \dots, AX_j, \dots, X_n) .

अब प्रतिचित्रण $(C_1, \dots, C_n) \mapsto \sum_j \det(C_1, \dots, AC_j, \dots, C_n)$ $n$ -रैखिक और एकांतर है (दो बराबर स्तंभों $C_i = C_k$ के साथ पद $j \notin \{i, k\}$ सीधे लुप्त हो जाते हैं, और पद $j = i$ तथा $j = k$ एक स्तंभ-अदला-बदली के बाद जोड़े-जोड़े में कट जाते हैं): अतः अद्वितीयता प्रमेय (प्रमेय 2.14) से वह $c \cdot \det$ है, जहाँ $c$ विहित स्तंभों पर पढ़ा जाता है: $c = \sum_j \det(e_1, \dots, Ae_j, \dots, e_n) = \sum_j a_{jj} = \operatorname{tr} A$ । इसलिए $W' = \operatorname{tr}\bigl(A(t)\bigr)W$ : अर्थात् एक अदिश रैखिक अवकल समीकरण, जिसे प्रथम वर्ष का सूत्र हल कर देता है। ∎

16.3 अचर गुणांक: आव्यूह घातांकी

प्रमेय 16.8

$A \in \mathcal{M}_n(\R)$ (अथवा $\C$ ) के लिए घातांकी $\eu^{tA} = \sum_k \frac{(tA)^k}{k!}$ (उदाहरण 5.22) ये पूरा करता है: $t \mapsto \eu^{tA}$ $C^1$ है (वस्तुतः $C^\infty$ ) जहाँ

\frac{\dd}{\dd t}\,\eu^{tA} = A\,\eu^{tA} = \eu^{tA}A , \qquad \eu^{(s+t)A} = \eu^{sA}\,\eu^{tA}, \qquad (\eu^{A})^{-1} = \eu^{-A} ;

और $AB = BA$ होने पर $\eu^{A + B} = \eu^A\eu^B$ । कोशी समस्या $X' = AX$ , $X(0) = X_0$ का अद्वितीय हल $X(t) = \eu^{tA}X_0$ है; और स्रोत के साथ अचरों का विचरण सूत्र सत्य रहता है:

X(t) = \eu^{(t - t_0)A}X_0 + \int_{t_0}^{t} \eu^{(t-s)A}B(s)\,\dd s .

उपपत्ति. अवकलनीयता: श्रेणी $\sum \frac{t^kA^k}{k!}$ और उसकी पद-व्युत्पन्न श्रेणी $\sum \frac{t^{k-1}A^k}{(k-1)!} = A\sum \frac{(tA)^{k-1}}{(k-1)!}$ हर खंड पर सामान्य रूप से अभिसरित होती हैं (मानदंड $\leq \frac{(\abs t\,\vertiii A)^k}{k!}$ ): अतः पद-दर-पद अवकलन कीजिए (प्रमेय 10.11, सदिश-मान वाली)। और दोनों क्रम $A\eu^{tA}$ तथा $\eu^{tA}A$ सहमत हैं क्योंकि हर आंशिक योग $A$ के साथ क्रमविनिमेय है।

समूह नियम: क्रमविनिमेय $A, B$ के लिए दोनों घातांकी श्रेणियों का कोशी गुणनफल द्विपद प्रमेय से ठीक वैसे ही पुनर्संगठित होता है जैसा उदाहरण 7.15 में (बानाख बीजगणित में निरपेक्ष अभिसरण उसे न्यायोचित ठहराता है): $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$ ; और $B = sA$ के साथ यह एक-प्राचली समूह नियम देता है, तथा $B = -A$ प्रतिलोम।

कोशी समस्या: $X(t) = \eu^{tA}X_0$ उसे हल करता है (अवकलन कीजिए); और अद्वितीयता प्रमेय 16.4 से। अचरों का विचरण: $Y(t) = \eu^{-tA}X(t)$ रखिए; अवकलन करने पर $Y' = \eu^{-tA}(X' - AX) = \eu^{-tA}B(t)$ ; $t_0$ से $t$ तक समाकलन कीजिए और $\eu^{tA}$ से वापस गुणा कीजिए। ∎

विधि 16.9 ( $\eu^{tA}$ का परिकलन)

$A$ (अध्याय 3) तक ले आइए: यदि $A = PDP^{-1}$ विकर्ण हो, तो $\eu^{t\lambda_i}$ के विकर्ण $\eu^{tD}$ के साथ $\eu^{tA} = P\,\eu^{tD}P^{-1}$ ; और सामान्य रूप में डनफ़र्ड $A = D + N$ (क्रमविनिमेय) काम में लीजिए: $\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN}$ , जहाँ $\eu^{tN}$ $t$ का बहुपद है (शून्यंभाविता श्रेणी को काट देती है)। और सम्मिश्र अभिलक्षणिक मान युग्मित होकर घूर्णन-गुणा-घातांकी खंड बना देते हैं (अभ्यास 16.5)।

टिप्पणी 16.10 (सामान्य भूलें)

(क) क्रमविनिमेयता के बिना $\eu^{A+B} \neq \eu^A\eu^B$ : $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ लीजिए। तब $\eu^A = I + A$ , $\eu^B = I + B$ (शून्यंभाविता), अतः $(A+B)^2 = I$ का उपयोग करके

\eu^A\eu^B = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad\text{जबकि}\qquad \eu^{A+B} = \cosh(1)\,I + \sinh(1)\,(A + B) = \begin{pmatrix} \cosh 1 & \sinh 1\\ \sinh 1 & \cosh 1 \end{pmatrix},

और $\cosh 1 \approx 1.54 \neq 2$ । प्रमेय 16.8 का समूह नियम एक सच्ची परिकल्पना उठाए चलता है। (ख) रैखिक मैदान पर अरैखिक अंतर्ज्ञान: संतत गुणांकों वाले किसी रैखिक निकाय के हल पूरे अंतराल पर बसते हैं (प्रमेय 16.4) — और यदि कोई संभावित हल $I$ के भीतर फट जाए, तो या तो समीकरण रैखिक नहीं था या परिकलन ग़लत है; इसके विपरीत अरैखिक समीकरणों के लिए बिना तर्क के वैश्विकता का वचन कभी मत दीजिए ( $y' = y^2$ )। (ग) अज्ञात से भाग देना: $y' = y(1-y)$ में चर अलग करने से अचर हल $0$ और $1$ चुपचाप छूट जाते हैं — और ठीक वही कला-रेखा को संगठित करते हैं (अभ्यास 16.3); पहले अचर हल सूचीबद्ध कीजिए। (घ) आरंभिक आँकड़े सदिश तय करते हैं, अदिश नहीं: $n$ -वीं कोटि के अदिश समीकरण को $n$ शर्तें चाहिए ( $t_0$ पर $y, y', \dots$ ); और केवल $y(t_0)$ मिलाने से $(n-1)$ -प्राचली कुल बचा रह जाता है, जो “खोए हुए” अचरों का क्लासिक स्रोत है।

उदाहरण 16.11 (डनफ़र्ड से एक $3\times3$ घातांकी)

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}$ के लिए $X' = AX$ हल कीजिए। खंडों से डनफ़र्ड: $D = \operatorname{diag}(2, 2, 3)$ तथा $N = E_{12}$ सहित $A = D + N$ , जो क्रमविनिमेय हैं ( $N$ अभिलक्षणिक-मान- $2$ वाले खंड के भीतर बसता है), और $N^2 = 0$ :

\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN} = \begin{pmatrix} \eu^{2t} & t\,\eu^{2t} & 0\\ 0 & \eu^{2t} & 0\\ 0 & 0 & \eu^{3t} \end{pmatrix} .

सामान्य हल स्तंभ-दर-स्तंभ पढ़ा जाता है: $X(t) = \bigl(\eu^{2t}(x_0 + ty_0),\ \eu^{2t}y_0,\ \eu^{3t}z_0\bigr)$ । तर्कसंगति की जाँचें: $t = 0$ पर आव्यूह $I$ है; उसका सारणिक $\eu^{7t} = \eu^{t\operatorname{tr}A}$ है, जैसा ल्यूविल माँगती है; और गुणक $t$ ठीक वहीं प्रकट होता है जहाँ अभिलक्षणिक मान $2$ दोषयुक्त है। समापन दृष्टि: बहुपद गुणा घातांकी कोई रटा हुआ अनुमान नहीं है — वे छिन्न श्रेणी $\eu^{tN}$ हैं, और उनकी घात शून्यंभाविता सूचकांक से परिबद्ध रहती है, कभी उससे अधिक नहीं।

विधि 16.12 ( $X' = AX + B(t)$ का हल, आरंभ से अंत तक)

$A$ का वर्णक्रम; फिर विधि 16.9 के द्वारा $\eu^{tA}$ (विकर्णन कीजिए; अथवा उदाहरण 16.11 जैसा डनफ़र्ड; अथवा $A^2 = -I$ जैसी कोई बहुपद युक्ति)।
कोई विशिष्ट हल: अचरों का विचरण $\int_{t_0}^t\eu^{(t-s)A}B(s)\dd s$ सदा चलता है; और घातांकी-बहुपद $B$ के लिए उसी आकार का कोई प्रस्ताव (अनुनाद पर घात बढ़ाकर, अभ्यास 16.10) अधिक तेज़ है।
सामान्य हल $= \eu^{(t-t_0)A}X_0 +$ विशिष्ट; और आरंभिक आँकड़े अंत में, पूरे सूत्र पर बिठाइए।
तर्कसंगति की जाँचें: $X(t_0)$ सही हो; समांगी भाग की वृद्धि अभिलक्षणिक मानों के वास्तविक भागों से मेल खाए (अभ्यास 16.8); और किसी मूलभूत आव्यूह का $\det$ ल्यूविल का पालन करे।

उदाहरण 16.13 (एक कला-चित्र)

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}$ के साथ $X' = AX$ : $A^2 = -I$ , अतः श्रेणी

\eu^{tA} = (\cos t)\,I + (\sin t)\,A = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t\\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix} :

में बँट जाती है: और प्रक्षेप-पथ दक्षिणावर्त चलाए गए वृत्त हैं — अर्थात् प्रथम कोटि के वस्त्रों में संनादी दोलक $x'' + x = 0$ । अभिलक्षणिक मान $\pm\iu$ काल्पनिक अक्ष पर: अर्थात् एक केंद्र। और सामान्य रूप में $A$ के अभिलक्षणिक मानों के वास्तविक भाग $\norm{X(t)}$ की वृद्धि या क्षय तय करते हैं (अभ्यास 16.8)।

दो रैखिक कला-चित्र। बाएँ: एक केंद्र (अभिलक्षणिक मान ±) — अर्थात् संनादी दोलक की बंद वृत्तीय कक्षाएँ। दाएँ: एक स्थायी नोड (अभिलक्षणिक मान -1, -2) — सारे प्रक्षेप-पथ मंद अभिलक्षणिक दिशा के स्पर्शी होकर मूल बिंदु में गिर जाते हैं। — दो रैखिक कला-चित्र। बाएँ: एक *केंद्र* (अभिलक्षणिक मान $\pm\iu$ ) — अर्थात् संनादी दोलक की बंद वृत्तीय कक्षाएँ। दाएँ: एक *स्थायी नोड* (अभिलक्षणिक मान $-1, -2$ ) — सारे प्रक्षेप-पथ मंद अभिलक्षणिक दिशा के स्पर्शी होकर मूल बिंदु में गिर जाते हैं।

विमा 2 में X' = AX के लिए अनुरेख–सारणिक समतल: क्षैतिज अक्ष के नीचे काठियाँ; अक्ष और परवलय = 2/4 के बीच नोड; परवलय के भीतर सर्पिल; और धनात्मक -अक्ष पर केंद्र। सप्ताहांत समस्या यह वर्गीकरण सिद्ध करती है और उसकी एक ऊर्ध्वाधर रेखा — अवमंदित दोलक — का पीछा करते हुए अनुनाद तक जाती है। — विमा $2$ में $X' = AX$ के लिए अनुरेख–सारणिक समतल: क्षैतिज अक्ष के नीचे काठियाँ; अक्ष और परवलय $\delta = \tau^2/4$ के बीच नोड; परवलय के भीतर सर्पिल; और धनात्मक $\delta$ -अक्ष पर केंद्र। सप्ताहांत समस्या यह वर्गीकरण सिद्ध करती है और उसकी एक ऊर्ध्वाधर रेखा — अवमंदित दोलक — का पीछा करते हुए अनुनाद तक जाती है।

टिप्पणी 16.14 (यह कहाँ काम आता है)

रैखिक निकाय हर अरैखिक वस्तु का स्थानीय प्रतिरूप हैं: किसी साम्यावस्था के पास कोई चिकना सदिश क्षेत्र (अतिपरवलयिक स्थितियों में) अपने रैखिकीकरण जैसा व्यवहार करता है, और उसके चित्र का वर्गीकरण अनुरेख–सारणिक समतल कर देता है। सप्ताहांत समस्या दोलक की पूरी कहानी निकालती है — अवमंदन, प्रणोदन, अनुनाद, और चर गुणांकों के लिए स्टुर्म की तुलना प्रमेयें — अर्थात् वही गणित जो प्रघात-अवशोषकों, प्रत्यावर्ती परिपथों और वर्णक्रमीय अंतरालों के पीछे है। तृतीय वर्ष का खंड बहुविधों पर गुणात्मक सिद्धांत (प्रवाह, स्थायित्व, प्रथम समाकल) के साथ लौटता है।

16.4 चर गुणांकों वाली द्वितीय कोटि

प्रतिज्ञप्ति 16.15

समीकरण $y'' + a(t)y' + b(t)y = c(t)$ ( $I$ पर $a, b, c$ संतत) $X = (y, y')$ के लिए निकाय $X' = A(t)X + B(t)$ है: अतः किसी भी आरंभिक आँकड़े $(y(t_0), y'(t_0))$ के लिए हल पूरे $I$ पर विद्यमान और अद्वितीय हैं; और समांगी हल एक समतल बनाते हैं। और यदि कोई अलुप्त समांगी हल $y_1$ ज्ञात हो, तो कोटि घटाकर दूसरा स्वतंत्र हल मिल जाता है: $y = y_1 z$ रखने पर समांगी समीकरण $z'$ के लिए प्रथम कोटि का समीकरण बन जाता है, जो समाकलनों से हल हो जाता है।

उपपत्ति. निकाय-रूप और प्रमेय 16.4 सारी संरचनात्मक बातें दे देते हैं। कोटि घटाना: $y = y_1z$ प्रतिस्थापित करने पर

y_1 z'' + (2y_1' + a y_1)z' + \underbrace{(y_1'' + ay_1' + by_1)}_{=\,0}\,z = 0 :

जो $u = z'$ में प्रथम कोटि का रैखिक समीकरण है और प्रथम वर्ष के सूत्र से हल हो जाता है; $u$ का समाकलन $z$ देता है, अतः $y_2 = y_1 z$ , जो $z$ के अनचर होने पर $y_1$ से स्वतंत्र है। ∎

उदाहरण 16.16

$\intoo{0}{\infty}$ पर $t^2y'' - 2y = 0$ : $y_1 = t^2$ एक हल है। $y = t^2z$ प्रतिस्थापित कीजिए: $y' = t^2z' + 2tz$ और $y'' = t^2z'' + 4tz' + 2z$ से,

t^2y'' - 2y = t^4 z'' + 4t^3z' = 0, \qquad\text{अर्थात्}\qquad \frac{z''}{z'} = -\frac4t :

$z' = t^{-4}$ (किसी अचर तक), $z = -\frac{1}{3t^3}$ , और $y_2 = t^2z = -\frac{1}{3t}$ । सामान्य हल: $y = \alpha t^2 + \frac{\beta}{t}$ ।

16.5 अभ्यास

अभ्यास 16.1 ★

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}$ (विकर्णन) तथा $A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ (डनफ़र्ड) के लिए $X' = AX$ , $X(0) = (1, 0)^{\mathsf T}$ हल कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 16.1.

पहला आव्यूह: अभिलक्षणिक मान $1, 2$ , अभिलक्षणिक सदिश $(1,0)$ और $(1,1)$ । $X_0 = (1,0) = 1\cdot(1,0) + 0\cdot(1,1)$ का अपघटन कीजिए: हल

X(t) = \eu^{t}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix} .

है। (आरंभिक सदिश स्वयं अभिलक्षणिक सदिश है।)

दूसरा: $A = 2I + N$ , $N = E_{12}$ , $N^2 = 0$ : $\eu^{tA} = \eu^{2t}(I + tN)$ , अतः

X(t) = \eu^{2t}\begin{pmatrix} 1 & t\\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix} = \eu^{2t}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}.

अभ्यास 16.2 ★

प्रमेय 16.1 के अनुसार किन कोशी समस्याओं के $\R$ पर अद्वितीय वैश्विक हल हैं? $y' = \sin(ty)$ ; $\;y' = y^2$ ; $\;y' = \abs y$ । अंतिम के लिए $y(0) = 0$ और $y(0) = 1$ के साथ स्पष्ट रूप से हल कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 16.2.

$y' = \sin(ty)$ : $\abs{\sin(ty) - \sin(tz)} \leq \abs t\,\abs{y - z}$ — अर्थात् समयों के हर खंड पर एकसमान रूप से $y$ में लिप्शिट्स: अतः $\R$ पर अद्वितीय वैश्विक हल (प्रमेय हर खंड पर लगाइए)।

$y' = y^2$ : केवल स्थानीय रूप से लिप्शिट्स; अतः कोई वैश्विक प्रमेय नहीं, और वास्तव में $y(0) = 1$ $t = 1$ पर फट जाता है।

$y' = \abs y$ : $\abs\cdot$ $1$ -लिप्शिट्स है: अतः वैश्विक अस्तित्व और अद्वितीयता। $y(0) = 0$ के साथ: $y \equiv 0$ (अद्वितीयता!)। और $y(0) = 1$ के साथ: $y$ धनात्मक बना रहता है (वह शून्य हल को पार नहीं कर सकता), अतः $y' = y$ : $y = \eu^t$ ।

अभ्यास 16.3 ★

सिद्ध कीजिए कि $y' = f(t,y)$ ( $y$ में $f$ लिप्शिट्स) के दो भिन्न महत्तम हल एक ही समय पर कभी एक ही मान नहीं लेते, और इससे निष्कर्ष निकालिए कि $\intoo{0}{1}$ में आरंभ होने वाले $y' = y(1 - y)$ के हल सदा $\intoo{0}{1}$ में ही बने रहते हैं।

हल

हल — अभ्यास 16.3.

यदि किसी समय $y(t_1) = z(t_1)$ हो, तो $y$ और $z$ $t_1$ पर एक ही कोशी समस्या हल करते हैं: अतः अद्वितीयता उनके साझे अंतराल पर $y = z$ को बाध्य कर देती है — भिन्न हल कभी नहीं मिलते।

$y' = y(1-y)$ के लिए: अचर $0$ और $1$ हल हैं। और $\intoo{0}{1}$ में आरंभ होने वाला कोई हल $0$ या $1$ तक कभी नहीं पहुँच सकता (वह किसी अचर हल से टकरा जाता): अतः वह $\intoo{0}{1}$ में ही बना रहता है, इसलिए वैश्विक है (परिबद्ध: कोई विस्फोट नहीं — जैसे अभ्यास 16.9 की कसौटी से, अथवा इसलिए कि फँसी हुई पट्टी पर सदिश क्षेत्र परिबद्ध है)।

अभ्यास 16.4 ★★

$A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$ के लिए $\eu^{tA}$ परिकलित कीजिए (डनफ़र्ड: $(A - 2I)^2 = 0$ ), और अचरों के विचरण से $X' = AX + \begin{pmatrix} \eu^{2t}\\ 0\end{pmatrix}$ , $X(0) = 0$ हल कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 16.4.

$(A - 2I)^2 = \begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix}^2 = 0$ : $D = 2I$ , $N = A - 2I$ के साथ डनफ़र्ड:

\eu^{tA} = \eu^{2t}\,(I + tN) = \eu^{2t}\begin{pmatrix} 1 + t & t\\ -t & 1 - t\end{pmatrix}.

और $B(s) = (\eu^{2s}, 0)^{\mathsf T}$ के साथ अचरों का विचरण:

X(t) = \int_0^t \eu^{(t-s)A}B(s)\,\dd s = \eu^{2t}\int_0^t \begin{pmatrix} 1 + (t-s)\\ -(t-s) \end{pmatrix}\dd s = \eu^{2t}\begin{pmatrix} t + \frac{t^2}{2}\\[2pt] -\frac{t^2}{2} \end{pmatrix},

जिसमें $\eu^{(t-s)A}B(s) = \eu^{2(t-s)}(I + (t-s)N)\,(\eu^{2s}, 0)^{\mathsf T} = \eu^{2t}\bigl(1 + (t-s),\, -(t-s)\bigr)^{\mathsf T}$ का उपयोग हुआ। (जाँच: $X(0) = 0$ ; और अवकलन से $X' - AX = (\eu^{2t}, 0)^{\mathsf T}$ ।)

अभ्यास 16.5 ★★

$A = \begin{pmatrix} \alpha & -\beta\\ \beta & \alpha\end{pmatrix}$ के लिए $\eu^{tA} = \eu^{\alpha t}\begin{pmatrix} \cos\beta t & -\sin\beta t\\ \sin\beta t & \cos\beta t\end{pmatrix}$ दो तरह से सिद्ध कीजिए — सर्पिल प्रक्षेप-पथ: श्रेणी के द्वारा ( $A = \alpha I + \beta J$ , $J^2 = -I$ लिखिए), और सम्मिश्र पहचान $z' = (\alpha + \iu\beta)z$ के द्वारा।

हल

हल — अभ्यास 16.5.

श्रेणी: $J = \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ , $J^2 = -I$ के साथ $A = \alpha I + \beta J$ ; दोनों पद क्रमविनिमेय हैं, अतः $\eu^{tA} = \eu^{\alpha t}\,\eu^{\beta tJ}$ , और $\eu^{\beta t J}$ की श्रेणी सम/विषम घातों के अनुसार $\cos(\beta t)I + \sin(\beta t)J$ में बँट जाती है: अर्थात् वही कथित घूर्णन-मापन आव्यूह।

सम्मिश्र: $(x, y) \in \R^2$ को $z = x + \iu y$ से पहचानिए; तब निकाय $X' = AX$ $z' = (\alpha + \iu\beta)z$ पढ़ा जाता है, जिसका हल $z(t) = \eu^{\alpha t}\eu^{\iu\beta t}z_0$ ठीक वही सर्पिल है: मापांक $\eu^{\alpha t}$ , और कोणांक $\beta$ की गति से आगे बढ़ता हुआ।

अभ्यास 16.6 ★★

(ग्रोनवाल की प्रमेयिका) मान लीजिए $u$ संतत अऋणात्मक है और $\intco{t_0}{T}$ पर $u(t) \leq C + k\int_{t_0}^{t} u(s)\,\dd s$ । सिद्ध कीजिए कि $u(t) \leq C\,\eu^{k(t - t_0)}$ ( $v(t) = \eu^{-kt}\int_{t_0}^t u$ का अवकलन कीजिए)। इससे कोशी–लिप्शिट्स की अद्वितीयता पुनः निकालिए, और भिन्न आरंभिक आँकड़ों वाले दो हलों के लिए संतत निर्भरता $\norm{y(t) - z(t)} \leq \norm{y_0 - z_0}\,\eu^{k\abs{t - t_0}}$ भी।

हल

हल — अभ्यास 16.6.

मान लीजिए $v(t) = \eu^{-k(t - t_0)}\int_{t_0}^t u$ । तब परिकल्पना से

v'(t) = \eu^{-k(t-t_0)}\Bigl(u(t) - k\int_{t_0}^t u\Bigr) \leq C\,\eu^{-k(t-t_0)},

$t_0$ से $t$ तक समाकलन करने पर ( $v(t_0) = 0$ ): $v(t) \leq \frac{C}{k}\bigl(1 - \eu^{-k(t - t_0)}\bigr)$ , अर्थात् $k\int_{t_0}^t u \leq C\bigl(\eu^{k(t-t_0)} - 1\bigr)$ ; और इसे परिकल्पना में वापस डालने पर: $u(t) \leq C\eu^{k(t-t_0)}$ ।

अद्वितीयता/निर्भरता: समाकल समीकरण के दो हल $y, z$ पूरा करते हैं

\norm{y(t) - z(t)} \leq \norm{y_0 - z_0} + k\int_{t_0}^{t}\norm{y - z},

और $C = \norm{y_0 - z_0}$ के साथ ग्रोनवाल घातांकी परिबंध दे देती है; और $C = 0$ अद्वितीयता।

अभ्यास 16.7 ★★

यह जानते हुए कि $\intoo{0}{\pi}$ पर $y_1(t) = \frac{\sin t}{t}$ $ty'' + 2y' + ty = 0$ को हल करता है, कोटि घटाकर दूसरा स्वतंत्र हल ज्ञात कीजिए, और सामान्य हल दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 16.7.

$y_1 = \frac{\sin t}{t}$ के साथ $y = y_1 z$ प्रतिस्थापित कीजिए: कोटि घटाने का सामान्य सूत्र (प्रतिज्ञप्ति 16.15) $u = z'$ के लिए देता है

y_1 u' + \Bigl(2y_1' + \frac{2}{t}\,y_1\Bigr)u = 0

(समीकरण $y'' + \frac2t y' + y = 0$ के रूप में सामान्यीकृत)। $2y_1' + \frac2t y_1 = 2\,\frac{t\cos t - \sin t}{t^2} + \frac{2\sin t}{t^2} = \frac{2\cos t}{t}$ परिकलित कीजिए: अतः

\frac{u'}{u} = -\frac{2\cos t}{t}\cdot\frac{t}{\sin t} = -2\cot t \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{1}{\sin^2 t} \quad (\text{किसी अचर तक}),

और $z = -\cot t$ , जिससे $y_2 = y_1 z = -\frac{\cos t}{t}$ मिलता है। $\intoo{0}{\pi}$ पर सामान्य हल:

y(t) = \alpha\,\frac{\sin t}{t} + \beta\,\frac{\cos t}{t} .

(ये कोटि शून्य के गोलीय बेसेल फलन हैं।)

अभ्यास 16.8 ★★★

मान लीजिए $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ के सारे अभिलक्षणिक मानों के वास्तविक भाग (यथार्थतः) ऋणात्मक हैं। सिद्ध कीजिए कि $X' = AX$ का हर हल $t \to +\infty$ होने पर $0$ की ओर जाता है, और वह भी घातांकी दर से: किसी $\alpha > 0$ के लिए $\norm{X(t)} \leq C\,\eu^{-\alpha t}$ । (त्रिभुजन कीजिए; और त्रिभुजाकार निकाय को अंतिम पंक्ति से ऊपर की ओर निपटाइए, अथवा डनफ़र्ड काम में लीजिए: $\norm{\eu^{tD}} \leq \eu^{-\alpha' t}$ तथा $t$ में बहुपद $\eu^{tN}$ के साथ $\eu^{tA} = \eu^{tD}\eu^{tN}$ ।)

हल

हल — अभ्यास 16.8.

डनफ़र्ड: $A = D + N$ क्रमविनिमेय हैं, $D$ उन्हीं अभिलक्षणिक मानों के साथ विकर्णनीय, $N$ शून्यंभावी, अतः

\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN}, \qquad \eu^{tN} = \sum_{k < n} \frac{t^kN^k}{k!} \ \text{(इसमें एक आव्यूह बहुपद: } t).

मान लीजिए $-2\alpha = \max_i \Re\lambda_i < 0$ । $D$ का विकर्णन करने वाले किसी आधार में $\vertiii{\eu^{tD}} \leq \eu^{-2\alpha t}$ (प्रविष्टियाँ $\eu^{t\lambda_i}$ , मापांक $\eu^{t\Re\lambda_i}$ ); और भिन्न आधारों में मानदंड अचर गुणकों से भिन्न होते हैं। अतः

\norm{X(t)} \leq \vertiii{\eu^{tA}}\,\norm{X_0} \leq C'\,\eu^{-2\alpha t}\,(1 + t)^{n-1}\,\norm{X_0} \leq C\,\eu^{-\alpha t}\norm{X_0} ,

जहाँ बहुपद किसी एक घातांकी गुणक में समो लिया गया है ( $\eu^{-\alpha t}(1+t)^{n-1} \to 0$ , अतः परिबद्ध)।

अभ्यास 16.9 ★★★

(रैखिक वृद्धि के लिए परिमित समय में कोई पलायन नहीं) मान लीजिए $f$ संतत है, $\intco{0}{\infty} \times \R^n$ पर $\norm{f(t, y)} \leq a\norm y + b$ , और $y$ में स्थानीय रूप से लिप्शिट्स। समाकल रूप पर ग्रोनवाल (अभ्यास 16.6) का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि महत्तम हल वैश्विक हैं (पूरे $\intco{0}{\infty}$ पर परिभाषित)।

हल

हल — अभ्यास 16.9.

मान लीजिए $y$ $\intco{0}{T}$ पर कोई महत्तम हल है, $T \leq \infty$ , और मान लीजिए $T < \infty$ । समाकल रूप $t < T$ के लिए

\norm{y(t)} \leq \norm{y_0} + \int_0^t \bigl(a\norm{y(s)} + b\bigr)\dd s \leq \bigl(\norm{y_0} + bT\bigr) + a\int_0^t\norm{y(s)}\,\dd s ,

देता है, और ग्रोनवाल $\intco{0}{T}$ पर $\norm{y(t)} \leq (\norm{y_0} + bT)\,\eu^{aT} =: M$ को परिबद्ध कर देती है: अतः हल किसी संहत गोले में ही रहता है। तब $T$ के पास $y' = f(t, y)$ परिबद्ध है, इसलिए $T$ के पास $y$ लिप्शिट्स है और $T$ तक संततता के साथ बढ़ जाता है (कोशी कसौटी); और $(T, y(T))$ पर कोशी समस्या हल करने से $y$ $T$ के आगे बढ़ जाता है, जो महत्तमता के विरुद्ध है। अतः $T = \infty$ : अर्थात् रैखिक वृद्धि के अंतर्गत परिमित समय में कोई पलायन नहीं।

अभ्यास 16.10 ★

$y'' - 3y' + 2y = \eu^{t}$ हल कीजिए: पहले समांगी हल, फिर $\alpha t\,\eu^{t}$ रूप का कोई विशिष्ट हल (भोला अनुमान $\alpha\eu^t$ क्यों विफल हो जाता है?); सामान्य हल, और $y(0) = y'(0) = 0$ वाला हल।

हल

हल — अभ्यास 16.10.

$r^2 - 3r + 2$ के अभिलक्षणिक मूल: $1$ और $2$ , अतः समांगी हल $a\eu^t + b\eu^{2t}$ हैं। अनुमान $\alpha\eu^t$ इसलिए विफल होता है कि $\eu^t$ पहले से ही समांगी समीकरण को हल करता है (मूल $r = 1$ दाहिने पक्ष के साथ “अनुनाद” करता है)। $y = \alpha t\,\eu^t$ के साथ: $y' = \alpha(1 + t)\eu^t$ , $y'' = \alpha(2 + t)\eu^t$ , और

y'' - 3y' + 2y = \alpha\eu^t\bigl(2 + t - 3 - 3t + 2t\bigr) = -\alpha\,\eu^t :

$\alpha = -1$ , $y_p = -t\,\eu^t$ । सामान्य हल: $y = a\eu^t + b\eu^{2t} - t\eu^t$ । आरंभिक आँकड़े $y(0) = y'(0) = 0$ : $a + b = 0$ और $a + 2b - 1 = 0$ : $b = 1$ , $a = -1$ :

y(t) = \eu^{2t} - (1 + t)\,\eu^{t} .

अभ्यास 16.11 ★★

जॉर्डन खंड

A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0\\ 0 & \lambda & 1\\ 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix},

के लिए $\eu^{tA}$ परिकलित कीजिए और $X' = AX$ के सारे हल बताइए: अर्थात् बहुपद सदिशों गुणा घातांकी, जिनकी घात अधिकतम $2$ है। बहुपद की घात कहाँ से आती है?

हल

हल — अभ्यास 16.11.

$N = E_{12} + E_{23}$ के साथ $A = \lambda I + N$ : $N^2 = E_{13}$ , $N^3 = 0$ , और $\lambda I$ $N$ के साथ क्रमविनिमेय है:

\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}\Bigl(I + tN + \frac{t^2}{2}N^2\Bigr) = \eu^{\lambda t}\begin{pmatrix} 1 & t & \frac{t^2}{2}\\ 0 & 1 & t\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

हल: $X(t) = \eu^{\lambda t}\bigl(X_0 + tNX_0 + \frac{t^2}2N^2X_0\bigr)$ — अर्थात् हर घटक $\eu^{\lambda t}$ गुणा घात $\leq 2$ तक का कोई बहुपद है। और घात का परिबंध शून्यंभाविता सूचकांक से एक कम है: $\eu^{tN}$ की श्रेणी $N^2$ पर कट जाती है।

अभ्यास 16.12 ★★★

(आवर्ती प्रणोदन, आवर्ती प्रतिक्रिया) मान लीजिए $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ और $B \colon \R \to \R^n$ संतत तथा $T$ -आवर्ती है।

दिखाइए कि $X' = AX + B(t)$ का कोई हल $T$ -आवर्ती है यदि और केवल यदि $X(T) = X(0)$ ( $X(\cdot + T)$ और $X$ की तुलना कीजिए)।
दिखाइए कि $\eu^{TA}$ के अभिलक्षणिक मान $\eu^{T\lambda}$ , $\lambda \in \operatorname{Sp}A$ हैं ( $\C$ पर त्रिभुजन कीजिए)। इससे निष्कर्ष निकालिए: यदि $A$ का कोई अभिलक्षणिक मान $\frac{2\iu\pi}{T}\Z$ में न हो, तो $I - \eu^{TA}$ प्रतिलोमनीय है।
उसी परिकल्पना के अंतर्गत सिद्ध कीजिए कि निकाय का ठीक एक $T$ -आवर्ती हल है, जहाँ

$X(0) = \bigl(I - \eu^{TA}\bigr)^{-1} \int_0^{T}\eu^{(T-s)A}B(s)\,\dd s .$

संनादी दोलक के लिए अपवर्जित स्थिति किसके अनुरूप है? (सप्ताहांत समस्या उत्तर देती है: अनुनाद।)

हल

हल — अभ्यास 16.12.

यदि $X(T) = X(0)$ , तो $Y(t) = X(t + T)$ $Y(0) = X(0)$ के साथ $Y' = AY + B(t + T) = AY + B(t)$ हल करता है: अतः अद्वितीयता (प्रमेय 16.4) $Y = X$ देती है, अर्थात् $X$ $T$ -आवर्ती है। विलोम तुच्छ है।
$\C$ पर त्रिभुजन कीजिए: $T'$ ऊपरी त्रिभुजाकार तथा विकर्ण $(\lambda_i)$ सहित $A = PT'P^{-1}$ । किसी त्रिभुजाकार आव्यूह की हर घात विकर्ण $(\lambda_i^k)$ के साथ त्रिभुजाकार होती है, अतः $\eu^{TA} = P\eu^{TT'}P^{-1}$ उसी आधार में विकर्ण $(\eu^{T\lambda_i})$ के साथ त्रिभुजाकार है: और वही अभिलक्षणिक मान हैं। तब $I - \eu^{TA}$ प्रतिलोमनीय है तभी जब हर अभिलक्षणिक मान के लिए $\eu^{T\lambda} \neq 1$ , अर्थात् तभी जब $T\lambda \notin 2\iu\pi\Z$ , और यही कथित परिकल्पना है।
अचरों का विचरण: $X(T) = \eu^{TA}X(0) + \int_0^T\eu^{(T-s)A}B(s)\dd s$ , अतः $X(T) = X(0)$

$\bigl(I - \eu^{TA}\bigr)X(0) = \int_0^{T}\eu^{(T-s)A}B(s)\,\dd s ,$

पढ़ा जाता है, जिसका प्रतिलोमनीयता वाली परिकल्पना के अंतर्गत अद्वितीय हल $X(0)$ है: अर्थात् ठीक एक $T$ -आवर्ती हल। और संनादी दोलक ( $\lambda = \pm\iu\omega$ ) के लिए अपवर्जित स्थिति $\omega T \in 2\pi\Z$ है: अर्थात् ऐसा प्रणोदन जिसका आवर्तकाल प्राकृतिक आवर्तकाल का गुणज हो — यानी अनुनाद, जिसे सप्ताहांत समस्या परिमाणित करती है।

16.6 समस्या: दोलन, अनुनाद, और स्टुर्म की तुलना प्रमेयें

समस्या 16.1

एक ही समीकरण यांत्रिक और विद्युत जगत पर शासन करता है:

x'' + 2\zeta\omega\,x' + \omega^2 x = F(t), \qquad \omega > 0,\ \zeta \geq 0 .

यह समस्या उसका पूरा अध्ययन करती है — समतलीय रैखिक निकायों के अनुरेख–सारणिक वर्गीकरण के द्वारा, तीनों अवमंदन-प्रणालियाँ, आवर्ती प्रणोदन के लिए स्थायी-अवस्था प्रतिक्रिया अपने अनुनाद शिखर तथा अनुनाद-प्रलय के साथ — और फिर अचर गुणांक छोड़कर स्टुर्म की पृथक्करण और तुलना प्रमेयों तक जाती है, जो $y'' + q(t)y = 0$ के हलों के शून्यों को बिना किसी सूत्र के नियंत्रित कर लेती हैं।

भाग I — अनुरेख–सारणिक समतल। मान लीजिए $A \in \mathcal M_2(\R)$ , $\tau = \operatorname{tr}A$ , $\delta = \det A$ , $\Delta = \tau^2 - 4\delta$ ।

दिखाइए कि $A$ के अभिलक्षणिक मान $\frac{\tau\pm\sqrt\Delta}{2}$ हैं और वर्गीकरण कीजिए: विपरीत चिह्नों वाले दो वास्तविक अभिलक्षणिक मान तभी जब $\delta < 0$ ; समान चिह्न वाले वास्तविक अभिलक्षणिक मान तभी जब $\delta > 0$ , $\Delta \geq 0$ ( $\tau$ का चिह्न); और अवास्तविक संयुग्मी युग्म तभी जब $\Delta < 0$ (वास्तविक भाग $\frac\tau2$ )।
(काठी, $\delta < 0$ ) अभिलक्षणिक मानों $\mu < 0 < \lambda$ तथा अभिलक्षणिक सदिशों $v_\pm$ के साथ सामान्य हल लिखिए और प्रक्षेप-पथों का वर्णन कीजिए: दो स्थायी और दो अस्थायी किरणें, और शेष सारी कक्षाएँ दोनों की अनंतस्पर्शी। $0$ के अतिरिक्त कोई हल पूरे $\R$ पर परिबद्ध क्यों नहीं रह सकता?
(नोड, $\delta > 0$ , $\Delta > 0$ ) $\mu < \lambda < 0$ के लिए दिखाइए कि हर अशून्य हल $0$ की ओर जाता है और तीव्र अक्ष पर पड़ी कक्षाओं को छोड़कर सारी कक्षाएँ मंद अभिलक्षणिक दिशा के स्पर्शी होकर पहुँचती हैं ( $\eu^{\mu t}$ और $\eu^{\lambda t}$ की तुलना कीजिए)।
(सर्पिल और केंद्र, $\Delta < 0$ ) अभिलक्षणिक मान $\alpha \pm \iu\beta$ लिखकर अभ्यास 16.5 का उपयोग कीजिए (किसी वास्तविक आधार-परिवर्तन के बाद, जिसे उस व्यापकता में स्वीकार कर लीजिए अथवा भाग II के निकायों के लिए सिद्ध कीजिए, और वे ही आगे काम आते हैं) और कक्षाओं का वर्णन कीजिए: $\alpha = \frac\tau2 < 0$ के लिए अभिसरित होते सर्पिल, $\tau > 0$ के लिए अपसरित होते, और $\tau = 0$ के लिए बंद वक्र (केंद्र)।
(सीमा-स्थितियाँ) दोहरे अभिलक्षणिक मान ( $\Delta = 0$ ) के लिए: दिखाइए कि शून्यंभावी $N = A - \lambda I$ के साथ $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}(I + tN)$ , और तारा ( $N = 0$ ) तथा अनुचित नोड ( $N \neq 0$ ) में भेद कीजिए। भाग I का सारांश इस अध्याय के चित्र वाले अनुरेख–सारणिक चित्र में दीजिए।

भाग II — अवमंदित दोलक। अब $F = 0$ : $x'' + 2\zeta\omega x' + \omega^2x = 0$ , अर्थात् $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -\omega^2 & -2\zeta\omega\end{pmatrix}$ के साथ $X' = AX$ ।

$\tau, \delta, \Delta$ परिकलित कीजिए और तीनों प्रणालियों को अनुरेख–सारणिक समतल में रखिए: अल्प-अवमंदित $0 < \zeta < 1$ (स्थायी सर्पिल), क्रांतिक अवमंदित $\zeta = 1$ (दोहरा अभिलक्षणिक मान), अति-अवमंदित $\zeta > 1$ (स्थायी नोड); और $\zeta = 0$ केंद्र है।
तीनों प्रणालियाँ स्पष्ट रूप से हल कीजिए:

$\zeta < 1:\ \eu^{-\zeta\omega t}\bigl(a\cos\omega_d t + b\sin\omega_dt\bigr),\ \omega_d = \omega\sqrt{1-\zeta^2}; \qquad \zeta = 1:\ (a + bt)\,\eu^{-\omega t};$

$\zeta > 1$ : दो वास्तविक घातांकी। छद्म-आवर्तकाल $\frac{2\pi}{\omega_d}$ परिभाषित कीजिए और दिखाइए कि $\abs x$ के क्रमागत महत्तम मानों का अनुपात अचर $\eu^{-2\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$ है (लघुगणकीय ह्रासांक)।
(दरवाज़ा-बंद करने वाला सिद्धांत) $\zeta \geq 1$ के लिए क्षय-दर सबसे मंद अभिलक्षणिक मान $\lambda_{\mathrm{slow}} = -\omega\bigl(\zeta - \sqrt{\zeta^2-1}\bigr)$ से शासित होती है। दिखाइए कि $\abs{\lambda_{\mathrm{slow}}} = \frac{\omega}{\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}}$ $\zeta \geq 1$ का ह्रासमान फलन है: अर्थात् क्रांतिक अवमंदन $\zeta = 1$ विश्राम तक सबसे तेज़ अदोलनकारी वापसी देता है।
(ऊर्जा) $E(t) = \frac12x'^2 + \frac12\omega^2x^2$ लीजिए। सिद्ध कीजिए कि $E' = -2\zeta\omega\,x'^2 \leq 0$ , और इससे निष्कर्ष निकालिए कि $\zeta > 0$ के लिए समीकरण का कोई अशून्य आवर्ती हल नहीं है (कोई आवर्तकाल $E$ को अचर होने पर बाध्य कर देता, अतः $x' \equiv 0$ )।
दो वाक्यों में समझाइए कि केंद्र $\zeta = 0$ संरचनात्मक रूप से नाज़ुक क्यों है: कोई भी $\zeta > 0$ , चाहे कितना ही छोटा, आवर्तिता नष्ट कर देता है — और अनुरेख–सारणिक समतल में यह कहाँ दिखता है (केंद्र-रेखा का अभ्यंतर रिक्त है)।

भाग III — प्रणोदित दोलन और अनुनाद। अब $F, \gamma > 0$ के साथ $F(t) = F\cos(\gamma t)$ ।

( $\zeta > 0$ : स्थायी अवस्था) $x_p = \Re\bigl(z\,\eu^{\iu\gamma t}\bigr)$ खोजिए: दिखाइए

$z = \frac{F}{\omega^2 - \gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma}, \qquad A(\gamma) := \abs z = \frac{F}{\sqrt{(\omega^2 - \gamma^2)^2 + 4\zeta^2\omega^2\gamma^2}} ,$

और $\tan\varphi = \frac{2\zeta\omega\gamma}{\omega^2-\gamma^2}$ के साथ $x_p = A(\gamma)\cos(\gamma t - \varphi)$ लिखिए।
दिखाइए कि हर हल $x_p$ जमा भाग II का कोई क्षणिक पद है, और वह $0$ की ओर जाता है: अर्थात् आरंभिक आँकड़े चाहे जो हों, निकाय स्थायी अवस्था पर जम जाता है — आयाम $A(\gamma)$ , कला-पश्चता $\varphi$ ।
(अनुनाद वक्र) $A$ को महत्तम कीजिए: दिखाइए कि $A(\gamma)$ का कोई अभ्यंतरीय महत्तम तभी है जब $\zeta < \frac{1}{\sqrt2}$ , और वह

$\gamma_* = \omega\sqrt{1 - 2\zeta^2}, \qquad A(\gamma_*) = \frac{F}{2\zeta\omega^2\sqrt{1-\zeta^2}} ,$

पर है; तथा छोटे $\zeta$ के लिए वह शिखर स्थैतिक प्रतिक्रिया $A(0) = \frac F{\omega^2}$ को गुणक $\approx \frac{1}{2\zeta}$ से बढ़ा देता है।
( $\zeta = 0$ , अनुनाद से हटकर) $\gamma \neq \omega$ के लिए दिखाइए कि $x(0) = x'(0) = 0$ वाला हल

$x(t) = \frac{F}{\omega^2 - \gamma^2}\bigl(\cos\gamma t - \cos\omega t\bigr) = \frac{2F}{\omega^2-\gamma^2} \sin\frac{(\omega-\gamma)t}{2} \sin\frac{(\omega+\gamma)t}{2} :$

है: परिबद्ध, और जब $\gamma$ $\omega$ के निकट हो तब विस्पंद — अर्थात् किसी मंद लिफ़ाफ़े के नीचे तेज़ दोलन।
( $\zeta = 0$ , अनुनाद) $\gamma = \omega$ के लिए दिखाइए कि $x_p(t) = \frac{F}{2\omega}\,t\sin(\omega t)$ एक हल है, और $\gamma \to \omega$ होने पर उसे प्रश्न 14 की सीमा के रूप में पुनः प्राप्त कीजिए: आयाम सदा के लिए रैखिक रूप से बढ़ता है — अर्थात् अनुनाद-प्रलय।
(फूरिये संबंध) कोई भी आवर्ती प्रणोदन संनादियों में विघटित होता है (फूरिये अध्याय); और रैखिकता से स्थायी अवस्था संनादी प्रतिक्रियाओं का योग है। आवृत्ति $\omega = 3$ वाले अनवमंदित दोलक को अभ्यास 14.1-प्रकार की वर्ग तरंग (जिसकी संनादियाँ सभी विषम पूर्णांकों पर हैं) से प्रणोदित किया जाए, तो कौन-सी संनादी अनुनाद करेगी? एक वाक्य में बताइए कि अभियंता वर्ग तरंगों से क्यों डरते हैं।

भाग IV — स्टुर्म की प्रमेयें। किसी अंतराल $I$ पर $y'' + q(t)\,y = 0$ लीजिए, जहाँ $q$ संतत है। (कोई भी समीकरण $y'' + ay' + by = 0$ प्रतिस्थापन $y = u\exp\bigl(-\frac12\int a\bigr)$ से इसी सामान्य रूप में आ जाता है; और प्रश्न 21 उस युक्ति का एक रूपांतर क्रिया में दिखाता है।)

दो हलों $y_1, y_2$ के लिए दिखाइए कि व्रोंस्कियन $W = y_1y_2' - y_1'y_2$ अचर है और वह शून्य है तभी जब हल अनुपाती हों; और यह भी कि किसी अशून्य हल के केवल सरल, विलगित शून्य होते हैं।
(स्टुर्म पृथक्करण) मान लीजिए $y_1, y_2$ स्वतंत्र हल हैं और $a < b$ $y_1$ के दो क्रमागत शून्य। सिद्ध कीजिए कि $y_2$ $\intoo{a}{b}$ में ठीक एक बार लुप्त होता है (अचर $W$ का $a$ तथा $b$ पर मूल्यांकन कीजिए: वहाँ $W = y_1'y_2$ , और $y_1'(a)$ , $y_1'(b)$ के चिह्न विपरीत हैं): अर्थात् स्वतंत्र हलों के शून्य एक-दूसरे के बीच में आते हैं।
(स्टुर्म तुलना) मान लीजिए $I$ पर $q_1 \leq q_2$ , $y'' + q_1y = 0$ सहित $y \neq 0$ , $z'' + q_2z = 0$ सहित $z \neq 0$ , और $a < b$ $y$ के क्रमागत शून्य। दिखाइए कि $z$ $\intcc{a}{b}$ में लुप्त होता है — और यदि $\intoo ab$ पर कहीं $q_1 < q_2$ हो तो यथार्थतः भीतर (यदि $\intoo ab$ पर $z \neq 0$ हो, तो $y, z$ के स्थिर चिह्नों के साथ $(yz' - y'z)' = (q_1 - q_2)yz$ का अध्ययन कीजिए और सीमा-मानों की तुलना कीजिए)।
अंतराल-परिबंध निष्कर्ष रूप में निकालिए: यदि $I$ पर $0 < m^2 \leq q(t) \leq M^2$ , तो $y'' + qy = 0$ के किसी अशून्य हल के किन्हीं दो क्रमागत शून्य $a < b$ पूरा करते हैं

$\frac{\pi}{M} \;\leq\; b - a \;\leq\; \frac{\pi}{m}$

( $u'' + M^2u = 0$ तथा $u'' + m^2u = 0$ से तुलना कीजिए, जिनके शून्य क्रमशः $\frac\pi M$ और $\frac\pi m$ दूरी पर हैं)। इसे संनादी दोलक पर जाँचिए।
$ty'' + 2y' + ty = 0$ (अभ्यास 16.7) को $u = ty$ से $u'' + u = 0$ में बदलिए, उसके हल $\frac{\sin t}t$ , $\frac{\cos t}{t}$ तत्काल पुनः प्राप्त कीजिए, और निष्कर्ष निकालिए कि हर अशून्य हल के शून्य ठीक $\pi$ दूरी पर हैं: यही स्टुर्म का जगत-दर्शन है — शून्यों पर गुणांक $q$ का शासन है, सूत्र हों या न हों।

भाग V — द्यूआमेल और परिबद्धता की सीमा।

(दोलक के लिए द्यूआमेल) दिखाइए कि संतत $F$ के लिए $x(0) = x'(0) = 0$ सहित $x'' + \omega^2x = F(t)$ का हल

$x(t) = \frac1\omega\int_0^t\sin\bigl(\omega(t - s)\bigr)F(s)\,\dd s ,$

है, और उससे $F(s) = F\cos(\omega s)$ लेकर प्रश्न 15 का अनुनादी हल पुनः निकालिए (गुणनफल-से-योग)।
( $\zeta > 0$ : परिबद्ध निवेश, परिबद्ध निर्गम) दिखाइए कि $\zeta > 0$ और किसी भी परिबद्ध संतत $F$ के लिए अवमंदित समीकरण का हर हल $\intco{0}{\infty}$ पर परिबद्ध है (अचरों का विचरण और अभ्यास 16.8 का घातांकी क्षय $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ )।
( $\zeta = 0$ ) दिखाइए कि बिना अवमंदन के परिबद्ध आवर्ती प्रणोदन सारे हलों को परिबद्ध रखता है, सिवाय ठीक अनुनाद पर ( $\gamma = \omega$ , प्रश्न 15 बनाम प्रश्न 14): अर्थात् परिबद्धता की सीमा को एकसमान स्थायित्व अवमंदन ही बनाता है।
संश्लेषण। एक-एक वाक्य में: (क) अनुरेख–सारणिक समतल भाग I और II को कैसे संगठित करता है और प्रणोदन (भाग III) उससे कहाँ बाहर निकल जाता है; (ख) $\gamma_*$ , $A(\gamma_*)$ तथा गुणक $\frac1{2\zeta}$ का भौतिक अर्थ; (ग) स्टुर्म की प्रमेयें वह क्या कहती हैं जो स्पष्ट सूत्र नहीं कह सकते; (घ) इस समस्या के कौन-से दो परिणाम पुस्तक का शेष भाग चुपचाप फिर काम में लेगा (ल्यूविल-अचर व्रोंस्कियन; परिबद्ध-निवेश स्थायित्व)।

हल

हल — समस्या 16.1.

1. अभिलक्षणिक बहुपद $\lambda^2 - \tau\lambda + \delta$ है, जिसके मूल $\frac{\tau\pm\sqrt\Delta}{2}$ हैं। यदि $\delta < 0$ तो $\Delta = \tau^2 - 4\delta > 0$ और दोनों वास्तविक मूलों का गुणनफल $\delta < 0$ है: अर्थात् विपरीत चिह्न। यदि $\delta > 0$ और $\Delta \geq 0$ : तो गुणनफल $> 0$ और योग $\tau$ वाले वास्तविक मूल: दोनों $\tau$ के चिह्न के। और यदि $\Delta < 0$ : तो $\alpha = \frac\tau2$ , $\beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}2$ के साथ संयुग्मी युग्म $\alpha \pm \iu\beta$ ।

2. $X(t) = a\,\eu^{\mu t}v_- + b\,\eu^{\lambda t}v_+$ । $a = 0$ (अथवा $b = 0$ ) वाली कक्षाएँ अस्थायी (अथवा स्थायी) अभिलक्षणिक रेखा के अनुदिश चलती हैं; और शेष सबका दोनों समय-दिशाओं में $\norm X \to \infty$ होता है, तथा $t \to +\infty$ होने पर वे $\R v_+$ की और $t \to -\infty$ होने पर $\R v_-$ की अनंतस्पर्शी होती हैं: यही काठी का चित्र है। पूरे $\R$ पर परिबद्धता $b = 0$ ( $+\infty$ पर विस्फोट से बचने के लिए) तथा $a = 0$ ( $-\infty$ पर) को बाध्य कर देती है: अर्थात् केवल मूल बिंदु।

3. $\mu < \lambda < 0$ के साथ दोनों घातांकी क्षय करते हैं: $X(t) \to 0$ । और यदि $b \neq 0$ हो, तो $\eu^{\lambda t}$ बाहर निकालिए:

X(t) = \eu^{\lambda t}\bigl(b\,v_\lambda + a\,\eu^{(\mu - \lambda)t}v_\mu\bigr), \qquad \eu^{(\mu-\lambda)t} \to 0 :

अतः $X(t)$ की दिशा $\R v_\lambda$ , अर्थात् मंद अभिलक्षणिक दिशा की ओर जाती है — तीव्र अक्ष को छोड़कर सारी कक्षाएँ उसी के स्पर्शी होकर पहुँचती हैं (इस अध्याय के कला-चित्रों का दाहिना फलक)।

4. जिस आधार में $A = \begin{pmatrix} \alpha & -\beta\\ \beta & \alpha\end{pmatrix}$ हो (अभ्यास 16.5; भाग II के दोलक निकायों के लिए यह रूप किसी स्पष्ट वास्तविक आधार-परिवर्तन से मिल जाता है), वहाँ हल $\eu^{\alpha t}$ गुणा कोण $\beta t$ का घूर्णन है: अर्थात् लघुगणकीय सर्पिल, जो $\alpha = \frac\tau2 < 0$ होने पर सिकुड़ते हैं, $\tau > 0$ होने पर फैलते हैं, और $\tau = 0$ होने पर बंद वक्र (मूल निर्देशांकों में दीर्घवृत्त) बन जाते हैं: यही केंद्र है।

5. $\Delta = 0$ दोहरा अभिलक्षणिक मान $\lambda = \frac\tau2$ देता है; और केली–हैमिल्टन (प्रमेय 3.21) से $(A - \lambda I)^2 = 0$ , अतः $N = A - \lambda I$ शून्यंभावी है, $\lambda I$ के साथ क्रमविनिमेय, और $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}(I + tN)$ । यदि $N = 0$ : तो $A = \lambda I$ , और सारी किरणें कक्षाएँ हैं (तारा नोड)। और यदि $N \neq 0$ : तो $X(t) = \eu^{\lambda t}(X_0 + tNX_0)$ , तथा $NX_0 \neq 0$ होने पर दिशा अकेली अभिलक्षणिक दिशा $\operatorname{im}N$ पर अभिसरित होती है: अर्थात् अनुचित नोड। इससे अनुरेख–सारणिक चित्र पूरा हो जाता है।

6. $\tau = -2\zeta\omega$ , $\delta = \omega^2 > 0$ , $\Delta = 4\omega^2(\zeta^2 - 1)$ । अतः: $0 < \zeta < 1$ $\Delta < 0$ , $\tau < 0$ देता है: स्थायी सर्पिल; $\zeta = 1$ : $\Delta = 0$ : अपभ्रष्ट स्थायी नोड; $\zeta > 1$ : $\Delta > 0$ , $\tau < 0$ , $\delta > 0$ : स्थायी नोड; और $\zeta = 0$ : $\tau = 0$ , $\delta > 0$ : केंद्र। अर्थात् $\delta = \omega^2$ पर समतल में एक ऊर्ध्वाधर यात्रा।

7. मूल $r = -\zeta\omega \pm \omega\sqrt{\zeta^2-1}$ । $\zeta < 1$ के लिए: $r = -\zeta\omega \pm \iu\omega_d$ , $\omega_d = \omega\sqrt{1-\zeta^2}$ :

x(t) = \eu^{-\zeta\omega t}\bigl(a\cos\omega_dt + b\sin\omega_dt\bigr) = R\,\eu^{-\zeta\omega t}\cos(\omega_dt - \varphi) .

$\zeta = 1$ के लिए: $x = (a + bt)\eu^{-\omega t}$ । और $\zeta > 1$ के लिए: $x = a\eu^{r_-t} + b\eu^{r_+t}$ , जहाँ दोनों दरें ऋणात्मक हैं। अल्प-अवमंदित स्थिति में $\abs x$ के क्रमागत महत्तम मान छद्म-आवर्तकाल $\frac{2\pi}{\omega_d}$ की दूरी पर आते हैं (कोसाइन की वही कला), और उनका अनुपात $\eu^{-\zeta\omega\cdot2\pi/\omega_d} = \eu^{-2\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$ है: अर्थात् लघुगणकीय ह्रासांक, जो दोलनदर्शी पर पढ़ा जा सकने वाला अवमंदन-मापक है।

8. परिमेयकरण करने पर

\abs{\lambda_{\mathrm{slow}}} = \omega\bigl(\zeta - \sqrt{\zeta^2-1}\bigr) = \frac{\omega}{\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}} ,

जिसका हर $\zeta \geq 1$ के साथ बढ़ता है: अतः क्षय-दर $\zeta = 1$ पर सबसे बड़ी है, जहाँ वह $\omega$ के बराबर है। अति-अवमंदित दरवाज़ा बिना धमाके के बंद होता है पर धीरे; और क्रांतिक अवमंदन अभियंता का अनुकूलतम है।

9. $E' = x'x'' + \omega^2xx' = x'\bigl(-2\zeta\omega x' - \omega^2x\bigr) + \omega^2xx' = -2\zeta\omega\,x'^2 \leq 0$ । यदि $x$ आवर्ती और अनचर होता, तो $E$ आवर्ती और अवर्धमान होता, अतः अचर, जो $x' \equiv 0$ को बाध्य कर देता: $x$ अचर, और तब $\omega^2x = 0$ : $x \equiv 0$ । अतः $\zeta > 0$ के लिए एकमात्र आवर्ती हल विश्राम है: अवमंदन हर चक्र मार देता है।

10. केंद्र $\zeta = 0$ अनुरेख–सारणिक समतल की रेखा $\tau = 0$ पर बसता है — अर्थात् रिक्त अभ्यंतर वाला समुच्चय: इसलिए आव्यूह का मनमाने ढंग से छोटा विक्षोभ (कोई भी भौतिक अवमंदन) $\tau$ को शून्य से हटा देता है और बंद कक्षाओं को सर्पिल बना देता है। अतः अनवमंदित दोलक की आवर्तिता उस्तरे की धार वाली परिघटना है, मज़बूत नहीं।

11. समीकरण में $x_p = \Re(z\eu^{\iu\gamma t})$ प्रतिस्थापित करने पर:

\bigl(-\gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma + \omega^2\bigr)z = F \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{F}{\omega^2 - \gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma},

अतः $\varphi = \arg(\omega^2 - \gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma)$ के साथ $x_p = \abs z\cos(\gamma t - \varphi)$ , अर्थात् $\tan\varphi = \frac{2\zeta\omega\gamma}{\omega^2 - \gamma^2}$ , और वही कथित $A(\gamma) = \abs z$ ।

12. दो हलों का अंतर समांगी समीकरण हल करता है, जो $\zeta > 0$ के लिए $0$ पर क्षय कर जाता है (प्रश्न 7): अतः हर हल $x_p$ जमा अनंत पर लुप्त होने वाला कोई क्षणिक पद है। स्थायी अवस्था वैश्विक आकर्षक है: आरंभिक शर्तें भुला दी जाती हैं, और केवल $A(\gamma)$ तथा कला-पश्चता $\varphi$ बचती हैं।

13. $u = \gamma^2 \geq 0$ पर $g(u) = (\omega^2 - u)^2 + 4\zeta^2\omega^2u$ को न्यूनतम कीजिए: $u = \omega^2(1 - 2\zeta^2)$ पर $g'(u) = -2(\omega^2 - u) + 4\zeta^2\omega^2 = 0$ , जो अभ्यंतरीय है तभी जब $\zeta < \frac{1}{\sqrt2}$ । और वहाँ

g(u_*) = 4\zeta^4\omega^4 + 4\zeta^2\omega^4(1 - 2\zeta^2) = 4\zeta^2\omega^4(1 - \zeta^2), \qquad A(\gamma_*) = \frac{F}{2\zeta\omega^2\sqrt{1 - \zeta^2}} .

स्थैतिक प्रतिक्रिया $A(0) = \frac{F}{\omega^2}$ के विरुद्ध: छोटे $\zeta$ के लिए प्रवर्धन $\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}} \approx \frac{1}{2\zeta}$ — अर्थात् $\gamma_* \approx \omega$ के पास हल्का अवमंदित निकाय $\zeta = 0.005$ होने पर निवेश को सौ गुना कर देता है।

14. कथित $x$ $x(0) = x'(0) = 0$ तथा

x'' + \omega^2 x = \frac{F(\omega^2 - \gamma^2)\cos\gamma t}{\omega^2 - \gamma^2} = F\cos\gamma t

पूरा करता है ( $\cos\omega t$ वाले भाग कट जाते हैं)। और गुणनफल-रूप $p = \gamma t$ , $q = \omega t$ के साथ $\cos p - \cos q = 2\sin\frac{q+p}{2}\sin\frac{q-p}2$ से निकलता है। $\gamma$ के $\omega$ के निकट होने पर गुणक $\sin\frac{(\omega-\gamma)t}2$ तेज़ दोलन $\sin\frac{(\omega+\gamma)t}2$ को मॉडुलित करने वाला मंद लिफ़ाफ़ा है: अर्थात् विस्पंद, जिनका आयाम $\frac{2F}{\abs{\omega^2-\gamma^2}}$ है — बड़ा, पर परिबद्ध।

15. $x_p = \frac{F}{2\omega}t\sin\omega t$ के लिए:

x_p'' = \frac{F}{2\omega}\bigl(2\omega\cos\omega t - \omega^2t\sin\omega t\bigr) = F\cos\omega t - \omega^2x_p :

एक हल है। और स्थिर $t$ पर प्रश्न 14 में $\gamma \to \omega$ लेने पर:

\frac{2F\sin\frac{(\omega-\gamma)t}2 \sin\frac{(\omega+\gamma)t}{2}} {(\omega-\gamma)(\omega+\gamma)} \longrightarrow \frac{2F\cdot\frac{(\omega-\gamma)t}2\big/(\omega-\gamma) \cdot\sin\omega t}{2\omega} = \frac{F\,t\sin\omega t}{2\omega} .

आयाम बिना किसी परिबंध के रैखिक रूप से बढ़ता है: यही अनुनाद-प्रलय है — और यही कारण है कि सैनिक पुलों पर क़दम तोड़ देते हैं।

16. वर्ग तरंग हर विषम आवृत्ति $n = 1, 3, 5, \dots$ पर संनादी उठाए चलती है; और रैखिकता से हर संनादी $n$ दोलक की $\gamma = n$ पर प्रतिक्रिया से प्रवर्धित होती है। $\omega = 3$ के लिए तीसरी संनादी ठीक अनुनाद पर पड़ती है। अभियंता वर्ग (और आरे-दाँत) निवेशों से इसलिए डरते हैं कि वे एक साथ सारी विषम संनादियाँ उत्तेजित कर देते हैं: संरचना की प्राकृतिक आवृत्ति चाहे जो हो, कोई न कोई संनादी उसकी प्रतीक्षा में रहती है।

17. $W' = y_1y_2'' - y_1''y_2 = -qy_1y_2 + qy_1y_2 = 0$ : $W$ अचर है (अनुरेख-शून्य सहचर आव्यूह के साथ ल्यूविल)। किसी एक बिंदु पर $W = 0$ $y_2$ के आरंभिक आँकड़ों को $y_1$ के आँकड़ों के अनुपाती बना देता है, अतः $y_2$ $y_1$ का अनुपाती (अद्वितीयता); और $W \neq 0$ तभी जब वे स्वतंत्र हों। और यदि $y(t_0) = y'(t_0) = 0$ हो तो $y \equiv 0$ (अद्वितीयता): अर्थात् किसी अशून्य हल के शून्य सरल होते हैं, और सरल शून्य विलगित होता है (पास में स्थिर चिह्न वाला $y'$ )।

18. क्रमागत शून्यों $a < b$ के बीच $y_1$ एक ही चिह्न रखता है, मान लीजिए $\intoo ab$ पर $y_1 > 0$ : तब $y_1'(a) > 0$ और $y_1'(b) < 0$ (सरल शून्य)। अचर $W = y_1y_2' - y_1'y_2$ का $a$ तथा $b$ पर मूल्यांकन:

W = -y_1'(a)\,y_2(a) = -y_1'(b)\,y_2(b) ,

अतः $y_2(a)$ और $y_2(b)$ के चिह्न विपरीत हैं ( $W \neq 0$ किसी को भी लुप्त होने से रोकता है): इसलिए $y_2$ $\intoo ab$ में लुप्त होता है (मध्यमान)। और वह वहाँ दो बार लुप्त नहीं हो सकता: $y_2$ के दो शून्य भूमिकाएँ बदलकर वही तर्क लगाने पर $y_1$ के किसी शून्य को घेर लेते, जो क्रमागतता के विरुद्ध है: अतः ठीक एक शून्य — अर्थात् अंतर्गुंथन।

19. मान लीजिए $\intoo ab$ में $z$ का कोई शून्य नहीं; $y, z$ के स्थान पर उनके ऋण रखकर मान लीजिए $\intoo ab$ पर $y > 0$ और $z > 0$ । $\varphi = yz' - y'z$ रखिए: $\intoo ab$ पर $\varphi' = yz'' - y''z = (q_1 - q_2)\,yz \leq 0$ : अतः $\varphi$ अवर्धमान है। परंतु $\varphi(a) = -y'(a)z(a) \leq 0$ ( $y'(a) > 0$ , $z(a) \geq 0$ होने से) और $\varphi(b) = -y'(b)z(b) \geq 0$ ( $y'(b) < 0$ , $z(b) \geq 0$ होने से): और $\leq 0$ से $\geq 0$ तक जाने वाला अवर्धमान फलन सर्वथा लुप्त होता है, अतः $\intoo ab$ पर $(q_1 - q_2)yz \equiv 0$ । और यदि $\intoo ab$ में कहीं $q_1 < q_2$ हो, तो यह असंगत है (वहाँ $y, z > 0$ ): अतः $z$ को यथार्थतः भीतर लुप्त होना ही पड़ता है। सामान्य रूप में ( $q_1 \leq q_2$ ) या तो $z$ $\intoo ab$ में लुप्त होता है, या $\varphi \equiv 0$ $z$ को $y$ का अनुपाती होने पर बाध्य कर देता है, जो $a$ और $b$ पर लुप्त है: अतः सभी स्थितियों में $z$ का $\intcc ab$ में कोई शून्य है।

20. ऊपरी परिबंध: $y$ (गुणांक $q \geq m^2$ ) की तुलना $u(t) = \sin(m(t - a))$ (गुणांक $m^2 \leq q$ , अतः प्रश्न 19 में $z$ की भूमिका $y$ निभाता है) से कीजिए: यदि $y$ का $\intoc{a}{a + \pi/m}$ में कोई शून्य न होता, तो $u$ के शून्य $a$ और $a + \frac\pi m$ क्रमागत होते और उनके बीच $y \neq 0$ होता, जो प्रश्न 19 के विरुद्ध है: अतः $y$ के क्रमागत शून्य $\leq \frac\pi m$ दूरी पर हैं। निचला परिबंध: यदि $y$ के दो क्रमागत शून्यों $a < b$ के लिए $b - a < \frac\pi M$ हो, तो $z(t) = \sin(M(t-a))$ (गुणांक $M^2 \geq q$ ) को $\intcc ab \subset \intoo{a}{a + \pi/M} \cup\{a\}$ में लुप्त होना पड़ता, जहाँ उसका एकमात्र शून्य स्वयं $a$ है — परंतु $\intoo{a}{b}$ पर अंत्यबिंदुओं पर यथार्थता के साथ लगाया गया प्रश्न 19 $\intcc ab$ में कोई शून्य देता है, और $\intoc ab$ पर $z > 0$ : विरोधाभास। अतः $\frac\pi M \leq b - a \leq \frac\pi m$ ; और $q \equiv \omega^2$ के लिए दोनों परिबंध संनादी दोलक की यथार्थ दूरी $\frac\pi\omega$ पर सिमट जाते हैं।

21. $u = ty$ के साथ: $u'' = ty'' + 2y'$ , अतः $ty'' + 2y' + ty = u'' + u = 0$ : $u = A\sin t + B\cos t = R\sin(t + \varphi)$ , और $y = \frac{u}{t}$ बिना कोटि घटाए $\frac{\sin t}t$ तथा $\frac{\cos t}t$ (अभ्यास 16.7) पुनः दे देता है। किसी भी अशून्य हल के शून्य $R\sin(t + \varphi)$ के शून्य हैं: अर्थात् ठीक $\pi$ की दूरी पर — यही स्टुर्म का दर्शन क्रिया में है: सूत्र हो या न हो, शून्यों को गुणांक $q \equiv 1$ निर्धारित करता है।

22. $x(t) = \frac1\omega\int_0^t\sin(\omega(t-s))F(s)\dd s$ रखिए। तब $x(0) = 0$ ;

x'(t) = \frac1\omega\sin(0)F(t) + \int_0^t\cos(\omega(t-s))F(s)\dd s = \int_0^t\cos(\omega(t-s))F(s)\dd s ,

अतः $x'(0) = 0$ ; और $x''(t) = F(t) - \omega\int_0^t\sin(\omega(t-s))F(s)\dd s = F(t) - \omega^2x(t)$ (चर सीमा वाले प्राचल समाकल का अवकलन, जैसा समाकलन अध्याय में)। $F(s) = F\cos\omega s$ के साथ गुणनफल-से-योग देता है

\int_0^t\sin(\omega(t-s))\cos(\omega s)\dd s = \frac12\int_0^t\bigl(\sin\omega t + \sin(\omega t - 2\omega s)\bigr)\dd s = \frac{t}{2}\sin\omega t ,

(दूसरा टुकड़ा समाकलित होकर शून्य हो जाता है), अतः $x = \frac{F}{2\omega}t\sin\omega t$ : अर्थात् द्यूआमेल से फिर प्रश्न 15।

23. निकाय-रूप $X' = AX + (0, F(t))^{\mathsf T}$ में $\operatorname{Sp}A$ के वास्तविक भाग ऋणात्मक हैं ( $\zeta > 0$ ): अचरों का विचरण तथा अभ्यास 16.8 ( $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ ) देते हैं

\norm{X(t)} \leq C\eu^{-\alpha t}\norm{X_0} + \int_0^t C\eu^{-\alpha(t-s)}\norm{F}_\infty\dd s \leq C\norm{X_0} + \frac{C\norm F_\infty}{\alpha} :

अर्थात् परिबद्ध निवेश, परिबद्ध निर्गम — और क्षणिक भाग के बाद आरंभिक आँकड़ों में एकसमान रूप से।

24. $\zeta = 0$ और $\gamma \neq \omega$ के लिए प्रश्न 14 का हल परिबद्ध है, और उसमें कोई भी समांगी हल जोड़ने पर (जो परिबद्ध है: केंद्र की कक्षाएँ वृत्त हैं) वह परिबद्ध ही रहता है; जबकि $\gamma = \omega$ पर प्रश्न 15 रैखिक रूप से बढ़ता है। अतः अनवमंदित दोलक के लिए आवर्ती प्रणोदन के अंतर्गत परिबद्धता ठीक एक ही आवृत्ति पर विफल होती है — अनुनाद — जबकि प्रश्न 23 दिखाता है कि कोई भी धनात्मक अवमंदन सभी परिबद्ध निवेशों के लिए परिबद्धता लौटा देता है।

25. (क) अनुरेख–सारणिक समतल सारी स्वायत्त समतलीय रैखिक गतिकी का वर्गीकरण कर देता है, और भाग II का दोलक उसकी एक ऊर्ध्वाधर रेखा पर चलता है; प्रणोदन उस समतल से बाहर निकल जाता है (अस्वायत्त), और वहाँ द्यूआमेल मोर्चा सँभाल लेता है। (ख) $\gamma_*$ वह आवृत्ति है जो निकाय को प्रिय है, $A(\gamma_*)$ उसे उत्तेजित करने की क़ीमत, और $\frac{1}{2\zeta}$ प्रवर्धन गुणक — अर्थात् अनुनाद की वह तीक्ष्णता जिसे अभियंता गुणता-गुणांक कहते हैं। (ग) स्टुर्म की प्रमेयें दोलन को केवल $q$ के चिह्न और आकार से पढ़ लेती हैं: वे उन समीकरणों (बेसेल, श्रोडिंगर) पर शासन करती हैं जिनके हलों के कोई प्रारंभिक सूत्र नहीं होते। (घ) अचर व्रोंस्कियन (प्रश्न 17, ल्यूविल के द्वारा) और परिबद्ध-निवेश स्थायित्व (प्रश्न 23) जब भी पुस्तक चर-गुणांक समीकरणों या विक्षुब्ध निकायों से मिलती है तब चुपचाप फिर काम में आ जाते हैं।