Apa itu Hubungan dispersi; kecepatan fase? — Fisika

Definisi 8.1 Fisika Universitas — Tahun 2 · Bab 8 — Dispersi dan Paket Gelombang

Medium yang linear, homogen dan tak berubah menurut waktu menerima gelombang bidang monokromatik $\underline s = A\,\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ (notasi kompleks; sinyal fisisnya adalah bagian nyatanya) asalkan $\omega$ dan $k$ memenuhi hubungan dispersi mediumnya, $\mathcal D(\omega, k) = 0$ , yang diselesaikan sebagai $k(\omega)$ atau $\omega(k)$ . Untuk $k$ nyata gelombangnya berjalan tanpa berubah bentuk dengan kecepatan fase

v_\varphi = \frac\omega k .

Mediumnya bersifat tak dispersif apabila $v_\varphi$ tak bergantung pada $\omega$ (maka $\omega = ck$ dan setiap sinyal merambat tanpa berubah bentuk — yaitu persamaan d’Alembert) dan dispersif pada hal lainnya.

Kiri: tiga hubungan dispersi — garis lurus bagi medium tak dispersif, hiperbola Klein–Gordon dengan ambangnya, parabola gelombang air dalam. Kanan: bagi hubungan Klein–Gordon kecepatan fasenya melampaui c dan kecepatan grupnya tinggal di bawahnya, dengan v_ v_g = c2. — Kiri: tiga hubungan dispersi — garis lurus bagi medium tak dispersif, hiperbola Klein–Gordon dengan ambangnya, parabola gelombang air dalam. Kanan: bagi hubungan Klein–Gordon kecepatan fasenya melampaui $c$ dan kecepatan grupnya tinggal di bawahnya, dengan $v_\varphi v_g = c^2$ .

Contoh

Contoh 8.2 (Dispersif dan tak dispersif)

(i) Sebuah tali di atas alas elastik (gaya pemulih $-Ky$ tiap satuan panjang, atau rantai bandul), $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - Ky$ : $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ dengan $\omega_c = \sqrt{K/\mu}$ — yaitu hubungan Klein–Gordon, yang sama dengan hubungan sebuah plasma dan sebuah pandu gelombang (Bab 14 dan 16): $v_\varphi = c/\sqrt{1 - \omega_c^2/\omega^2} > c$ , dan tak ada $k$ nyata di bawah ambang $\omega_c$ . (ii) Gelombang gravitasi air dalam: $\omega^2 = gk$ (diterima tanpa bukti), $v_\varphi = \sqrt{g/k} = \sqrt{g\lambda/2\pi}$ : gelombang panjang lebih cepat — $12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ bagi $100\,\mathrm{m}$ , $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ bagi $1\,\mathrm{km}$ . (iii) Rantai atomnya, $\omega = 2\omega_0|\sin(ka/2)|$ (Bab 6). (iv) Cahaya dalam kaca, $k = n(\omega)\omega/c$ , itulah sebabnya sebuah prisma menguraikan spektrum.

Contoh 8.7 (Klein–Gordon: lebih cepat daripada cahaya, dan tidak)

Untuk $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ : $v_\varphi = \omega/k$ dan $v_g = c^2k/\omega$ , jadi $v_\varphi v_g = c^2$ : kecepatan fasenya melampaui $c$ (dalam ionosfer, puncak gelombang $10\,\mathrm{MHz}$ bergerak lebih cepat daripada cahaya) tetapi kecepatan grupnya, yang mengemban sinyalnya, tinggal di bawahnya. Kecepatan fase tidak mengangkut energi maupun informasi — puncaknya seperti titik cahaya mercusuar yang menyapu awan yang jauh.

Baca dalam konteks →