विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 2 · Bachelor Year 2

6तारों और छड़ों पर तरंगें: दालांबेर समीकरण

गिटार का तार छेड़िए और कोई आकृति उस पर दौड़ पड़ती है, सेतु से टकराकर लौटती है, और उस अप्रगामी रूप में ठहर जाती है जिसकी आवृत्ति आप स्वर के रूप में सुनते हैं। रेल की पटरी पर कान लगाइए और गाड़ी आने से बहुत पहले आप उसे सुन लेते हैं: कोई संपीडन इस्पात में पाँच किलोमीटर प्रति सेकंड से दौड़ता है। वर्ष 1 के खंड ने ऐसी तरंगों का — प्रगामी, अप्रगामी, अध्यारोपित — वर्णन किया था, पर यह नहीं बताया कि वे होती क्यों हैं। यह अध्याय उन्हें चलाने वाला समीकरण निकालता है, अर्थात् दालांबेर तरंग-समीकरण, पहले किसी तार की अनुप्रस्थ गति के लिए, फिर परमाणु-दर-परमाणु द्रव्यमानों और स्प्रिंगों से बनी छड़ की अनुदैर्घ्य गति के लिए; और फिर वह ऊर्जा निकालता है जो कोई तरंग ले जाती है, तथा वह प्रतिबाधा जो तय करती है कि माध्यम बदलने पर क्या होगा।

6.1 कंपित तार

प्रमेय 6.1 (तार का तरंग-समीकरण)

$\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व का कोई तार, जिसे तनाव $T$ से खींचा गया है, छोटे अनुप्रस्थ विस्थापन $y(x, t)$ करता है (ढाल $|\partial_xy| \ll 1$ )। तब

\frac{\partial^2y}{\partial t^2} = c^2\,\frac{\partial^2y}{\partial x^2} , \qquad c = \sqrt{\frac{T}{\mu}} ,

मिलता है, जो दालांबेर समीकरण है और जिसका सामान्य हल $y = f(x - ct) + g(x + ct)$ है: अर्थात् दाईं ओर चलती एक आकृति और बाईं ओर चलती एक आकृति का, दोनों $c$ चाल से और बिना विरूपण के, अध्यारोपण।

उपपत्ति. $x$ और $x + \dd x$ के बीच का अवयव अलग कीजिए, जिसका द्रव्यमान $\mu\,\dd x$ है। उसके पड़ोसी उसे तार की स्पर्शरेखा के अनुदिश तनाव $T$ से खींचते हैं: क्षैतिज दिशा में दोनों सिरों पर $T\cos\theta \approx T$ (क्षैतिज गति नहीं है, अतः $T$ पूरे तार में एक-सा है), और ऊर्ध्वाधर दिशा में $T\sin\theta \approx T\partial_xy$ , जिससे कुल बल $T[\partial_xy(x + \dd x) - \partial_xy(x)] = T\,\partial_x^2y\,\dd x$ मिलता है। न्यूटन: $\mu\,\dd x\,\partial_t^2y = T\partial_x^2y\,\dd x$ । हल के लिए $u = x - ct$ , $v = x + ct$ रखिए: समीकरण $\partial_u\partial_vy = 0$ बन जाता है (शृंखला-नियम), अतः $\partial_vy$ केवल $v$ पर निर्भर है, और $y = f(u) + g(v)$ ; और उल्टे, ऐसा हर $y$ उसे संतुष्ट करता है। छोड़ा गया गुरुत्व तब तक उचित है जब तक $T \gg \mu gL$ । ∎

बाएँ: तार के किसी अवयव पर लगे बल — तार के मुड़े होने पर दोनों तनाव समांतर नहीं होते, और उनका परिणामी अनुप्रस्थ होता है। दाएँ: कोई आकृति f(x - ct) बिना विरूपण के दाईं ओर c चाल से चलती है। — बाएँ: तार के किसी अवयव पर लगे बल — तार के मुड़े होने पर दोनों तनाव समांतर नहीं होते, और उनका परिणामी अनुप्रस्थ होता है। दाएँ: कोई आकृति $f(x - ct)$ बिना विरूपण के दाईं ओर $c$ चाल से चलती है।

उदाहरण 6.2 (गिटार, पियानो, तार-रस्सा)

गिटार का नीचला E तार ( $\mu = 5.5\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , लंबाई $0.65\,\mathrm{m}$ , $82.4\,\mathrm{Hz}$ ) अपनी मूल विधा में $\lambda = 2L$ के साथ कंपित होता है: $c = 2Lf = 107\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और $T = \mu c^2 = 63\,\mathrm{N}$ । पियानो का A $_4$ तार (इस्पात, $1\,\mathrm{mm}$ , $\mu = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , $0.38\,\mathrm{m}$ , $440\,\mathrm{Hz}$ ): $c = 334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $T = 680\,\mathrm{N}$ — और किसी पियानो में लगभग $230$ तार होते हैं, अर्थात् बीस टन तनाव ढलवाँ लोहे के ढाँचे पर। $10\,\mathrm{kN}$ पर $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ का तार-रस्सा: $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

6.2 अप्रगामी तरंगें और विधाएँ

प्रतिज्ञप्ति 6.3 (दोनों सिरों पर बँधे तार की विधाएँ)

$x = 0$ और $x = L$ पर बँधा कोई तार ये ज्यावक्रीय अप्रगामी-तरंग हल स्वीकार करता है (प्रसामान्य विधाएँ):

y_n(x, t) = A_n\sin\frac{n\pi x}{L}\cos(\omega_nt - \varphi_n) , \qquad f_n = \frac{\omega_n}{2\pi} = n\,\frac{c}{2L} = n f_1 , \quad n = 1, 2, 3, \dots

— अर्थात् मूल विधा $f_1 = c/2L$ और उसकी संनादी। विधा $n$ के सिरों के बीच $n - 1$ निस्पंद होते हैं। तार की कोई भी गति अध्यारोपण $y = \sum_ny_n$ है, जिसमें आयाम और कलाएँ आरंभिक आकृति और वेग से तय होती हैं (एक फूरिये श्रेणी, जैसा इस वर्ष का गणित-खंड स्थापित करता है): और संनादियों का यही मिश्रण स्वर का स्वर-गुण है।

उपपत्ति. $y = F(x)\cos(\omega t - \varphi)$ खोजिए: $F'' + (\omega/c)^2F = 0$ , और $F(0) = 0$ से $F = A\sin(\omega x/c)$ मिलता है, तथा $F(L) = 0$ के लिए $\omega L/c = n\pi$ चाहिए। हर विधा दो प्रगामी तरंगों का योग भी है: $\sin kx\cos\omega t = \tfrac12[\sin(kx - \omega t) + \sin(kx + \omega t)]$ — अर्थात् तरंग और उसका परावर्तन। ज्याओं की पूर्णता फूरिये की प्रमेय है। ∎

बाएँ: दोनों सिरों पर बँधे तार की पहली तीन विधाएँ (f_n = nc/2L)। दाएँ: बीच से छेड़ा गया तार (त्रिभुज) और उसकी फूरिये श्रेणी के पहले पद — केवल विषम संनादी दिखते हैं, जिनके आयाम 1/n2 की तरह गिरते हैं। — बाएँ: दोनों सिरों पर बँधे तार की पहली तीन विधाएँ ( $f_n = nc/2L$ )। दाएँ: बीच से छेड़ा गया तार (त्रिभुज) और उसकी फूरिये श्रेणी के पहले पद — केवल विषम संनादी दिखते हैं, जिनके आयाम $1/n^2$ की तरह गिरते हैं।

उदाहरण 6.4 (मेल्डे का प्रयोग)

कोई तार एक सिरे पर आवृत्ति $f$ के कंपित्र से चलाया जाता है, और दूसरा सिरा किसी घिरनी पर से जाकर लटके द्रव्यमान $m$ से बँधा है (अतः $T = mg$ ): जब भी $f$ किसी $f_n = (n/2L) \sqrt{mg/\mu}$ के बराबर होता है, बड़ी अप्रगामी तरंग उभर आती है — अर्थात् विधा $n$ का अनुनाद। $L = 1.2\,\mathrm{m}$ , $\mu = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ और $f = 50\,\mathrm{Hz}$ के लिए, $n = 1, 2, 3$ फंदे देने वाले द्रव्यमान $m_n = 4L^2f^2\mu/n^2g = 1.47/n^2$ kg हैं: $1.47\,\mathrm{kg}$ , $367\,\mathrm{g}$ , $163\,\mathrm{g}$ । गिटार के तार को बारहवें परदे पर दबाने से $L$ आधा और $f_1$ दुगुना हो जाता है: अर्थात् अष्टक; और बीच में बिना दबाए हलके से छूने पर विषम विधाएँ मर जाती हैं और दूसरा संनादी बचता है — यही फ़्लाजोले है।

6.3 ऊर्जा, शक्ति और प्रतिबाधा

प्रतिज्ञप्ति 6.5 (तार-तरंग की ऊर्जा)

कोई तार प्रति एकांक लंबाई इतनी ऊर्जा और इतनी शक्ति ( $+x$ की ओर ऊर्जा-अभिवाह) ले जाता है:

e = \tfrac12\mu\Bigl(\frac{\partial y}{\partial t}\Bigr)^2 + \tfrac12T\Bigl(\frac{\partial y}{\partial x}\Bigr)^2 , \qquad \mathcal P = -T\,\frac{\partial y}{\partial x}\,\frac{\partial y}{\partial t} ,

और ये स्थानिक संतुलन $\partial_te + \partial_x\mathcal P = 0$ का पालन करते हैं। किसी प्रगामी तरंग $y = f(x - ct)$ के लिए गतिज और स्थितिज घनत्व बराबर होते हैं और $\mathcal P = Z\,(\partial_ty)^2$ , जहाँ

Z = \sqrt{T\mu} = \mu c = \frac Tc ,

तार की प्रतिबाधा है ( $\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ): अर्थात् आगे पड़ी वस्तु पर तार द्वारा लगाए गए अनुप्रस्थ बल $-T\partial_xy$ का अनुप्रस्थ वेग $\partial_ty$ से अनुपात। $A$ आयाम की कोई ज्यावक्रीय तरंग माध्य शक्ति $\langle\mathcal P\rangle = \tfrac12Z\omega^2A^2$ ले जाती है।

उपपत्ति. स्थितिज पद तनाव द्वारा अवयव को खींचने में किया गया कार्य है: उसकी लंबाई

\dd x\sqrt{1 + (\partial_xy)^2} \approx \dd x\bigl(1 + \tfrac12(\partial_xy)^2\bigr) ,

है, अतः अतिरिक्त लंबाई गुणा $T$ $\tfrac12T(\partial_xy)^2\dd x$ देता है। $x$ के पार $+x$ की ओर संचरित शक्ति वह अनुप्रस्थ बल है जो बायाँ भाग दाएँ भाग पर लगाता है, $-T\partial_xy$ , गुणा वेग $\partial_ty$ । संतुलन:

\partial_te = \mu\,\partial_ty\,\partial_t^2y + T\,\partial_xy\,\partial_x\partial_ty , \qquad -\partial_x\mathcal P = T\,\partial_x^2y\,\partial_ty + T\,\partial_xy\,\partial_x\partial_ty ,

जो तरंग-समीकरण से बराबर हैं। $f(x - ct)$ के लिए: $\partial_xy = -\partial_ty/c$ , अतः $\mathcal P = (T/c) (\partial_ty)^2$ और दोनों घनत्व $\tfrac12\mu(\partial_ty)^2$ के बराबर होते हैं। ∎

प्रतिज्ञप्ति 6.6 (किसी संधि पर परावर्तन और पारगमन)

$A_i$ आयाम की कोई तरंग $Z_1$ प्रतिबाधा के तार से आकर $Z_2$ प्रतिबाधा के उस तार पर पहुँचती है जो $x = 0$ पर जुड़ा है। संधि पर विस्थापन और अनुप्रस्थ बल की संततता ये आयाम-गुणांक देती है:

r = \frac{A_r}{A_i} = \frac{Z_1 - Z_2}{Z_1 + Z_2} , \qquad t = \frac{A_t}{A_i} = \frac{2Z_1}{Z_1 + Z_2} ,

और ऊर्जा-अंश $R = r^2$ , $\mathcal T = 4Z_1Z_2/(Z_1 + Z_2)^2$ , जिनके लिए $R + \mathcal T = 1$ । बँधा सिरा ( $Z_2 \to \infty$ ) $r = -1$ से परावर्तित करता है (स्पंद उलटा लौटता है), और मुक्त सिरा ( $Z_2 = 0$ ) $r = +1$ से; और बराबर प्रतिबाधाएँ सब कुछ पार कर देती हैं।

उपपत्ति. ज्यावक्रीय तरंगें $y_1 = A_i\cos(\omega t - k_1x) + A_r\cos(\omega t + k_1x)$ , $x < 0$ के लिए, और $y_2 = A_t\cos(\omega t - k_2x)$ , $x > 0$ के लिए, दोनों ओर वही $\omega$ । $x = 0$ पर: $y_1 = y_2$ से $A_i + A_r = A_t$ मिलता है; और बल $-T\partial_xy$ का संतत होना (द्रव्यमानहीन संधि) $Z_1(A_i - A_r) = Z_2A_t$ देता है ( $T_1k_1 = Z_1\omega$ लेकर)। अब हल कीजिए। ऊर्जाएँ: माध्य शक्तियाँ $\tfrac12Z\omega^2A^2$ । ∎

कोई स्पंद भारी तार वाली संधि पर पहुँचता है (Z_2 = 4Z_1): कुछ भाग पार जाता है, धीमा और सँकरा होकर, और कुछ उलटकर परावर्तित होता है। — कोई स्पंद भारी तार वाली संधि पर पहुँचता है ( $Z_2 = 4Z_1$ ): कुछ भाग पार जाता है, धीमा और सँकरा होकर, और कुछ उलटकर परावर्तित होता है।

6.4 परमाणुओं की शृंखला से प्रत्यास्थ छड़ तक

प्रतिज्ञप्ति 6.7 (परमाणुओं की शृंखला; यंग गुणांक)

एक-से $m$ द्रव्यमानों की कोई पंक्ति, जो $a$ अंतराल पर रखे और $k$ दृढ़ता की स्प्रिंगों से जुड़े हैं: यदि $u_n(t)$ पंक्ति के अनुदिश द्रव्यमान $n$ का विस्थापन हो, तो

m\ddot u_n = k(u_{n+1} - u_n) - k(u_n - u_{n-1}) = k(u_{n+1} - 2u_n + u_{n-1}) .

जब विस्थापन एक द्रव्यमान से अगले तक धीरे-धीरे बदलता है (अर्थात् $\lambda \gg a$ तरंगदैर्घ्यों पर), तब $u_n(t) \to u(x, t)$ और $u_{n\pm1} - u_n \approx \pm a\,\partial_xu + \tfrac12a^2\partial_x^2u$ , और शृंखला दालांबेर समीकरण का पालन करती है:

\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} , \qquad c = a\sqrt{\frac km} = \sqrt{\frac{E}{\rho}} ,

जहाँ $\rho = m/a^3$ ऐसी शृंखलाओं से घनीय व्यूह में बने किसी ठोस का घनत्व है और $E = k/a$ उसका यंग गुणांक: अर्थात् $S$ काट और $\ell$ लंबाई की छड़ की दृढ़ता $kS/a^2\cdot a/\ell = ES/\ell$ है, अर्थात् हुक का नियम $F/S = E\,\Delta\ell/\ell$ (प्रतिबल $\sigma = E\varepsilon$ )।

उपपत्ति. हर स्प्रिंग अपने सिरों के विस्थापनों के अंतर से खिंचती है। टेलर-प्रसार रखिए: $m\partial_t^2u = ka^2\partial_x^2u$ । प्रति परमाणु $a$ भुजा का घन $\rho = m/a^3$ देता है; और $S$ काट की छड़ में $S/a^2$ समांतर शृंखलाएँ होती हैं, हर एक में श्रेणीबद्ध $\ell/a$ स्प्रिंगें, जिनकी कुल दृढ़ता $(S/a^2)(ka/\ell) = (k/a)S/\ell$ है। ∎

प्रतिज्ञप्ति 6.8 (छड़ में अनुदैर्घ्य तरंगें)

सीधे सातत्य पर: किसी छड़ का $x$ और $x + \dd x$ के बीच का अवयव, जो $u(x, t)$ से विस्थापित है, $\varepsilon = \partial_xu$ से विकृत होता है और हर फलक पर प्रतिबल $\sigma = E\partial_xu$ से खिंचता है; और न्यूटन $\rho\,\partial_t^2u = E\,\partial_x^2u$ देता है: अर्थात् अनुदैर्घ्य (संपीडन) तरंगें $c = \sqrt{E/\rho}$ से चलती हैं — इस्पात में $5100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $E = 200\,\mathrm{GPa}$ ), ऐलुमिनियम में $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , ग्रेनाइट में $3700\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , और लकड़ी में रेशे के अनुदिश $3500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । प्रति एकांक क्षेत्रफल प्रतिबाधा $Z = \rho c = \sqrt{E\rho}$ है, और वही संधि-सूत्र लागू होते हैं — और इसी से पराश्रव्य तरंगें पटरी की दरार ढूँढ़ लेती हैं।

उपपत्ति. अवयव पर कुल बल: $S[\sigma(x + \dd x) - \sigma(x)] = SE\partial_x^2u\,\dd x$ ; और द्रव्यमान $\rho S\dd x$ । ∎

बाएँ: द्रव्यमानों और स्प्रिंगों की शृंखला — हर द्रव्यमान अपने दोनों ओर की स्प्रिंगें अनुभव करता है, और सातत्य-सीमा में तरंग-समीकरण मिलता है, जिसमें c = a√k/m। दाएँ: प्रत्यास्थ छड़ का कोई अवयव, जिसे उसके दोनों फलकों पर प्रतिबल खींचते हैं। — बाएँ: द्रव्यमानों और स्प्रिंगों की शृंखला — हर द्रव्यमान अपने दोनों ओर की स्प्रिंगें अनुभव करता है, और सातत्य-सीमा में तरंग-समीकरण मिलता है, जिसमें $c = a\sqrt{k/m}$ । दाएँ: प्रत्यास्थ छड़ का कोई अवयव, जिसे उसके दोनों फलकों पर प्रतिबल खींचते हैं।

टिप्पणी 6.9 (शृंखला जो जानती है, छड़ नहीं जानती)

यथार्थ शृंखला-समीकरण में $u_n = A\cos(\omega t - kna)$ रखने पर $\omega = 2\sqrt{k/m}\,|\sin(ka/2)|$ मिलता है: $ka \ll 1$ के लिए यह $\omega = ck$ है, अर्थात् अपरिक्षेपी तरंग-समीकरण, पर तरंगदैर्घ्य के $2a$ के पास आते ही आवृत्ति $2\sqrt{k/m}$ पर संतृप्त हो जाती है और कला तथा समूह वेग अलग हो जाते हैं — यही इस खंड का पहला परिक्षेपण संबंध है, और अध्याय 8 का विषय। $a = 0.25\,\mathrm{nm}$ और $c = 5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ के लिए कटाव $\omega_{\max} = 2c/a = 4 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ( $6\,\mathrm{THz}$ ) पर पड़ता है: ठोस अपने परमाणुओं की स्प्रिंगों के दिए से तेज़ कंप ही नहीं सकता।

6.5 अभ्यास

अभ्यास 6.1 ★

गिटार का A तार ( $110\,\mathrm{Hz}$ , $L = 65\,\mathrm{cm}$ , $\mu = 3.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ ): तरंग-चाल, तनाव, तार पर मूल विधा की तरंगदैर्घ्य और हवा में ध्वनि की तरंगदैर्घ्य; और तार को पाँचवें परदे पर दबाने पर आवृत्ति ( $L$ $2^{-5/12}$ गुना घट जाता है)।

हल

हल — अभ्यास 6.1.

$c = 2Lf = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T = \mu c^2 = 61\,\mathrm{N}$ ; तार पर $\lambda = 2L = 1.3\,\mathrm{m}$ , हवा में $340/110 = 3.1\,\mathrm{m}$ ; पाँचवाँ परदा: $110 \times 2^{5/12} = 147\,\mathrm{Hz}$ ।

अभ्यास 6.2 ★

इस्पात ( $E = 200\,\mathrm{GPa}$ , $\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), ऐलुमिनियम ( $70\,\mathrm{GPa}$ , $2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) और सीसे ( $16\,\mathrm{GPa}$ , $11\,300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) में अनुदैर्घ्य तरंगों की चाल। किसी ध्वनि को $1.0\,\mathrm{km}$ पटरी के अनुदिश और हवा ( $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) से होकर जाने में लगा समय; और पटरी पर कान लगाए श्रोता को क्या सुनाई देता है।

हल

हल — अभ्यास 6.2.

$\sqrt{E/\rho}$ : इस्पात $5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , ऐलुमिनियम $5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , सीसा $1.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ । $1\,\mathrm{km}$ : पटरी में $0.20\,\mathrm{s}$ , हवा में $2.9\,\mathrm{s}$ — अर्थात् दो ध्वनियाँ, पहले पटरी वाली, और बीच में $2.7\,\mathrm{s}$ का अंतर।

अभ्यास 6.3 ★

$200\,\mathrm{Hz}$ मूल विधा वाला कोई तार: विधा 2, 3, 4 की आवृत्तियाँ और निस्पंदों की संख्या; विधा 3 के निस्पंदों की स्थितियाँ; और मूल आवृत्ति, यदि तनाव दुगुना कर दिया जाए, यदि लंबाई आधी कर दी जाए, और यदि तार की जगह प्रति मीटर तीन गुना भारी तार लगा दिया जाए।

हल

हल — अभ्यास 6.3.

$400$ , $600$ , $800$ Hz, और भीतरी निस्पंद $1$ , $2$ , $3$ ; विधा 3 के निस्पंद $L/3$ और $2L/3$ पर। $T \times 2$ : $200\sqrt2 = 283\,\mathrm{Hz}$ ; $L/2$ : $400\,\mathrm{Hz}$ ; $\mu \times 3$ : $200/\sqrt3 = 115\,\mathrm{Hz}$ ।

अभ्यास 6.4 ★

$12\,\mathrm{m}$ की कोई रस्सी ( $\mu = 0.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ ) $45\,\mathrm{N}$ से खींची गई है; उसका एक सिरा दीवार से बँधा है। दूसरे सिरे से कोई स्पंद भेजा जाता है। चाल; दीवार तक जाकर लौटने में लगा समय; लौटते स्पंद का आकार; और वही, यदि दूर वाला सिरा किसी छड़ पर स्वतंत्र सरकते हलके छल्ले से बँधा हो।

हल

हल — अभ्यास 6.4.

$c = \sqrt{45/0.2} = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $1.6\,\mathrm{s}$ में $24\,\mathrm{m}$ ; स्पंद उलटा लौटता है ( $r = -1$ ); और मुक्त छल्ले के साथ सीधा ( $r = +1$ )।

अभ्यास 6.5 ★★

$440\,\mathrm{Hz}$ के लिए कोई पियानो-तार: इस्पात ( $\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), व्यास $1.0\,\mathrm{mm}$ , कंपन-लंबाई $38\,\mathrm{cm}$ । (क) $\mu$ , तरंग-चाल, तनाव। (ख) तार में प्रतिबल; पियानो-तार की सामर्थ्य, लगभग $2\,\mathrm{GPa}$ , से तुलना कीजिए। (ग) $0.5\,\mathrm{mm}$ के तार से वही स्वर: तनाव और प्रतिबल। (घ) मंद्र तार लंबे या मोटे बनाने के बदले ताँबे से क्यों लपेटे जाते हैं?

हल

हल — अभ्यास 6.5.

(क) $\mu = \rho\pi d^2/4 = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ ; $c = 2Lf = 334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T = \mu c^2 = 690\,\mathrm{N}$ । (ख) $\sigma = T/A = \rho c^2 = 0.87\,\mathrm{GPa}$ , अवकाश $2.3$ । (ग) $T/4 = 170\,\mathrm{N}$ , और प्रतिबल वही (वह केवल $\rho c^2$ पर निर्भर है)। (घ) लंबा तार पेटी में समाता नहीं; मोटा सादा तार बहुत कड़ा (और तीव्रता से असंनादी) होता है और सेतु पर मुड़ता नहीं; जबकि ताँबे की लपेट बिना कड़ेपन के द्रव्यमान जोड़ देती है।

अभ्यास 6.6 ★★

मेल्डे। $1.5\,\mathrm{m}$ का कोई तार ( $\mu = 2.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ ) $60\,\mathrm{Hz}$ पर चलाया जाता है; उसका तनाव लटके द्रव्यमान से तय होता है। (क) $1$ , $2$ , $3$ और $4$ फंदे देने वाले द्रव्यमान। (ख) $0.50\,\mathrm{kg}$ के साथ: क्या अनुनाद होता है? और निकटतम विधा। (ग) चलाया जाने वाला सिरा वास्तव में निस्पंद है या प्रस्पंद? (घ) अनुनाद पर फंदे इतने बड़े क्यों हो जाते हैं, और उन्हें कौन सीमित करता है?

हल

हल — अभ्यास 6.6.

(क) $m_n = 4L^2f^2\mu/n^2g = 6.6/n^2$ kg: $6.6$ , $1.65$ , $0.73$ , $0.41\,\mathrm{kg}$ । (ख) $n^2 = 13.2$ , $n = 3.6$ : अनुनाद नहीं, वह विधा 3 और 4 के बीच है (निकटतम: 4, $0.41\,\mathrm{kg}$ )। (ग) व्यावहारिक रूप से निस्पंद: चालक का आयाम फंदों के सामने नन्हा होता है। (घ) हर आवर्तकाल में ऊर्जा कला में भरती जाती है और जमा होती है; और अवमंदन (हवा, आंतरिक घर्षण, घिरनी से रिसाव) आयाम को सीमित कर देता है।

अभ्यास 6.7 ★★

कोई तरंग $y = A\cos(\omega t - kx)$ , जिसमें $A = 2.0\,\mathrm{mm}$ , $f = 100\,\mathrm{Hz}$ , किसी तार ( $T = 100\,\mathrm{N}$ , $\mu = 10\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ ) पर चलती है। चाल, $k$ , तरंगदैर्घ्य; किसी बिंदु का अधिकतम अनुप्रस्थ वेग और त्वरण; अधिकतम ढाल; प्रतिबाधा; ले जाई गई माध्य शक्ति; और एक तरंगदैर्घ्य में समाई ऊर्जा।

हल

हल — अभ्यास 6.7.

$c = 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $k = 6.3\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $\lambda = 1.0\,\mathrm{m}$ ; $v_{\max} = \omega A = 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $a_{\max} = \omega^2A = 790\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; ढाल $kA = 0.013$ ; $Z = \sqrt{T\mu} = 1.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; $\langle\mathcal P\rangle = \tfrac12Z\omega^2A^2 = 0.79\,\mathrm{W}$ ; प्रति तरंगदैर्घ्य $\mathcal P/f = 7.9\,\mathrm{mJ}$ ।

अभ्यास 6.8 ★★

$\mu_1 = 2.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ का कोई तार $\mu_2 = 8.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ के तार से बँधा है, और दोनों $20\,\mathrm{N}$ पर हैं। (क) चालें और प्रतिबाधाएँ। (ख) हलके तार से आती तरंग के लिए, और भारी तार से आती तरंग के लिए, आयाम के परावर्तन तथा पारगमन गुणांक। (ग) दोनों दशाओं में ऊर्जा-अंश; जाँचिए कि उनका योग एक है। (घ) हलके तार से $10\,\mathrm{cm}$ चौड़ाई का $1\,\mathrm{cm}$ का स्पंद आता है: पार गए और परावर्तित स्पंदों की ऊँचाई और चौड़ाई।

हल

हल — अभ्यास 6.8.

(क) $c_1 = 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $c_2 = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $Z_1 = 0.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , $Z_2 = 0.40\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ । (ख) हलके तार से: $r = -1/3$ , $t = 2/3$ ; भारी तार से: $r = +1/3$ , $t = 4/3$ । (ग) दोनों दशाओं में $R = 1/9$ , $\mathcal T = 4 \times 0.08/0.36 = 8/9$ । (घ) पार गया: $0.67\,\mathrm{cm}$ ऊँचा, $5\,\mathrm{cm}$ चौड़ा (वही अवधि, आधी चाल); परावर्तित: $-0.33\,\mathrm{cm}$ , $10\,\mathrm{cm}$ ।

अभ्यास 6.9 ★★

$1.0\,\mathrm{mm}$ व्यास का $2.0\,\mathrm{m}$ इस्पात-तार $80\,\mathrm{N}$ के अधीन $1.0\,\mathrm{mm}$ खिंच जाता है। (क) यंग गुणांक। (ख) अनुदैर्घ्य तरंगों की चाल। (ग) दोनों सिरों पर जकड़े तार के अनुदैर्घ्य कंपन की मूल आवृत्ति, और उसी तनाव पर उसके अनुप्रस्थ कंपन की; वे इतनी भिन्न क्यों हैं? (घ) शृंखला-प्रतिरूप में किसी “परमाणु” की दृढ़ता $k$ और द्रव्यमान $m$ , $a = 0.25\,\mathrm{nm}$ लेकर।

हल

हल — अभ्यास 6.9.

(क) $E = F\ell/A\Delta\ell = 80 \times 2/(7.85 \times 10^{-7} \times 10^{-3}) = 2.0 \times 10^{11}\,\mathrm{Pa}$ । (ख) $c = 5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ । (ग) अनुदैर्घ्य: $c/2\ell = 1.3\,\mathrm{kHz}$ ; अनुप्रस्थ: $\sqrt{T/\mu} = 114\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $f = 29\,\mathrm{Hz}$ — तनाव तार को $100\,\mathrm{MPa}$ तक ही प्रतिबलित करता है, अर्थात् $5 \times 10^{-4}$ गुना $E$ , इसलिए अनुप्रस्थ चाल अनुदैर्घ्य चाल की $\sqrt{5 \times 10^{-4}}$ गुनी है। (घ) $k = Ea = 50\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; $m = \rho a^3 = 1.2 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ (लगभग $70$ परमाणु द्रव्यमान मात्रक)।

अभ्यास 6.10 ★★★

छेड़ा हुआ तार। $0$ और $L$ पर बँधे किसी तार को $x = L/2$ पर $h$ ऊँचाई तक खींचा जाता है (त्रिभुजाकार आकृति) और विराम से छोड़ा जाता है। (क) हल को $\sum_nb_n\sin(n\pi x/L)\cos(\omega_nt)$ के रूप में लिखिए और दिखाइए कि $b_n = \dfrac{8h}{n^2\pi^2}\sin\dfrac{n\pi}2$ । (ख) कौन-से संनादी अनुपस्थित हैं और क्यों? (ग) विधा $n$ की ऊर्जा ( $E_n = \tfrac14\mu L\omega_n^2b_n^2$ ); और कुल में से मूल विधा का अंश। (घ) तार को इसके बदले $L/5$ पर छेड़ा जाता है: कौन-से संनादी लुप्त होते हैं? गिटार-वादक अधिक चमकीली ध्वनि के लिए सेतु के पास क्यों छेड़ता है?

हल

हल — अभ्यास 6.10.

(क) $b_n = \frac2L\int_0^Ly(x, 0)\sin(n\pi x/L)\dd x$ , जहाँ त्रिभुज $y = 2hx/L$ है $[0, L/2]$ पर (और सममित): खंडशः समाकलन कीजिए, $b_n = 8h\sin(n\pi/2) /n^2\pi^2$ । (ख) सम $n$ लुप्त हो जाते हैं: क्योंकि जिस मध्य-बिंदु को खींचा गया वह हर सम विधा का निस्पंद है। (ग) $E_n = \tfrac14\mu L\omega_n^2b_n^2 \propto n^2/n^4 = 1/n^2$ (विषम $n$ ): अतः मूल विधा के पास $1/\sum_{\text{विषम}}n^{-2} = 8/\pi^2 = 81\%$ है। (घ) $b_n \propto \sin(n\pi/5)/n^2$ : अतः $n = 5, 10, \dots$ लुप्त हो जाते हैं। सेतु के पास गुणक $\sin(n\pi x_0/L)$ नीची विधाओं के लिए छोटा रहता है और ऊँची विधाओं के लिए बढ़ता जाता है: अतः अपेक्षाकृत अधिक ऊँचे संनादी, और चमकीली ध्वनि।

अभ्यास 6.11 ★★★

शृंखला का परिक्षेपण। (क) शृंखला-समीकरण में $u_n = A\cos(\omega t - kna)$ रखकर $\omega(k) = 2\omega_0|\sin(ka/2)|$ , $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ निकालिए। (ख) कला वेग $\omega/k$ और समूह वेग $\dd\omega/\dd k$ ; $ka \to 0$ के लिए उनकी उभयनिष्ठ सीमा; और $ka = \pi$ पर उनके मान। (ग) $ka = \pi$ पर तरंग कैसी दिखती है? $2a$ से छोटी तरंगदैर्घ्य की कोई तरंग क्यों नहीं होती? (घ) इस्पात के लिए ( $c = 5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $a = 0.25\,\mathrm{nm}$ ): $\omega_0$ , अधिकतम आवृत्ति, और $1\,\mathrm{MHz}$ की पराश्रव्य तरंग की तरंगदैर्घ्य — क्या वह परिक्षेपी है?

हल

हल — अभ्यास 6.11.

(क) $-m\omega^2 = k(2\cos ka - 2) = -4k\sin^2(ka/2)$ । (ख) $v_\varphi = 2\omega_0\sin(ka/2) /k$ , $v_g = \omega_0a\cos(ka/2)$ ; दोनों $\to \omega_0a = c$ जब $ka \to 0$ ; और $ka = \pi$ पर: $v_\varphi = 2c/\pi$ , $v_g = 0$ । (ग) पड़ोसी विपरीत कला में चलते हैं: अर्थात् कोई अप्रगामी तरंग जो कुछ नहीं ढोती; और कोई $k$ , जो $\pi/a$ से बड़ा हो, वही विस्थापन-समुच्चय देता है जो कोई $k' = k - 2\pi/a$ देता — कोई नई तरंग नहीं। (घ) $\omega_0 = c/a = 2.0 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_{\max} = \omega_0/\pi = 6.5\,\mathrm{THz}$ ; $1\,\mathrm{MHz}$ पर: $\lambda = 5.1\,\mathrm{mm} = 2 \times 10^7a$ , $ka \sim 3 \times 10^{-7}$ : अर्थात् पूर्णतः अपरिक्षेपी।

अभ्यास 6.12 ★★★

लटकती रस्सी, चटकता चाबुक। (क) $L$ लंबाई की कोई एकसमान रस्सी छत से लटकी है: मुक्त सिरे से $x$ ऊँचाई पर तनाव; और स्थानिक तरंग-चाल $c(x)$ । (ख) किसी स्पंद को नीचे से ऊपर तक जाने में लगा समय; $L = 10\,\mathrm{m}$ के लिए मान; और स्पंद का आकार क्यों बदलता है। (ग) कोई चाबुक पतला होता जाता है, अर्थात् नोक की ओर $\mu$ घटता है, और प्रहार के दौरान तनाव (लगभग) अचर रहता है: उसके अनुदिश चाल कैसे बदलती है? (घ) यह मानकर कि स्पंद की ऊर्जा संरक्षित रहती है और उसकी अवधि अचर रहती है, दिखाइए कि उसके अनुप्रस्थ वेग का आयाम $\mu^{-1/4}$ की तरह बढ़ता है, और ऐसे चाबुक की नोक की चाल आँकिए जिसमें $\mu$ मूठ से नोक तक $10^4$ गुना गिरता हो और हाथ $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ देता हो। (चटकना एक ध्वनि-विस्फोट है।)

हल

हल — अभ्यास 6.12.

(क) $T(x) = \mu gx$ , $c = \sqrt{gx}$ । (ख) $t = \int_0^L\dd x/\sqrt{gx} = 2\sqrt{L/g} = 2.0\,\mathrm{s}$ ; और स्पंद का ऊपरी भाग निचले से तेज़ चलता है: अतः वह खिंच जाता है। (ग) $c = \sqrt{T/\mu}$ नोक की ओर बढ़ता है। (घ) ऊर्जा $\approx \mathcal P\tau = ZV^2\tau = \sqrt{T\mu}V^2\tau$ अचर: अतः $V \propto \mu^{-1/4}$ ; और $10^4$ का गुणक, $\mu$ में, $\times10$ देता है: $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — असली चाबुक बाक़ी उस खुलती कुंडली से पाता है, जो ऊर्जा को और संकेंद्रित कर देती है, और नोक ध्वनि की चाल पार कर जाती है।

किसी ग्रैंड पियानो के भीतर: क्रमशः बदलती लंबाई और मोटाई के लगभग दो सौ इस्पात-तार, जिनमें से हर एक अपने तनाव से मूल आवृत्ति c/2L पर मिलाया गया है; और मंद्र तार द्रव्यमान के लिए ताँबे से लपेटे गए हैं। — किसी ग्रैंड पियानो के भीतर: क्रमशः बदलती लंबाई और मोटाई के लगभग दो सौ इस्पात-तार, जिनमें से हर एक अपने तनाव से मूल आवृत्ति $c/2L$ पर मिलाया गया है; और मंद्र तार द्रव्यमान के लिए ताँबे से लपेटे गए हैं।

6.6 समस्या: पियानो, हथौड़े से ध्वनि-पट्ट तक

समस्या 6.1

सप्ताहांत समस्या — कोई पियानो-तार खोलकर देखा गया: उसका तनाव और दृढ़ता, हथौड़े का प्रहार और उससे बनते संनादी, वह सेतु जो उसकी ऊर्जा ध्वनि-पट्ट को रिसा देता है, और कोई पटरी जो वही समीकरण ढोती है

भाग I — तार। किसी पियानो का A $_4$ तार ( $440\,\mathrm{Hz}$ ): इस्पात, $E = 200\,\mathrm{GPa}$ , $\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , व्यास $d = 1.0\,\mathrm{mm}$ , कंपन-लंबाई $L = 38\,\mathrm{cm}$ । मंद्र से ऊपर के हर स्वर के लिए ऐसे तीन तार होते हैं; और पियानो में $230$ तार हैं।

तार का रैखिक द्रव्यमान घनत्व, तरंग-चाल और तनाव।
तार में तनन-प्रतिबल; तार $2.0\,\mathrm{GPa}$ पर टूटता है: सुरक्षा का अवकाश, और मिलाने वाले का आख़िरी घुमाव ही ख़तरनाक क्यों होता है।
सब तार एक ही तनाव पर मानकर ढाँचे पर कुल तनाव आँकिए।
सबसे नीचा तार (A $_0$ , $27.5\,\mathrm{Hz}$ ) $1.9\,\mathrm{m}$ लंबा है; यदि वह उसी तनाव पर सादा इस्पात-तार होता, तो उसे कौन-सा $\mu$ और कौन-सा व्यास चाहिए होता? वह वास्तव में ताँबे से लपेटा गया इस्पात-क्रोड है: समझाइए।
A $_4$ तार की विधाएँ: पहले आठ संनादियों की आवृत्तियाँ; इनमें से कौन-से मूल विधा से संवादी अंतराल पर पड़ते हैं (अष्टक, पंचम, चतुर्थ, वृहत् तृतीय) और कौन-से नहीं?
तार अपनी मूल विधा में प्रस्पंद पर $0.50\,\mathrm{mm}$ आयाम से कंपित होता है: संचित ऊर्जा (किसी विधा की ऊर्जा $\tfrac14\mu L\omega^2A^2$ है)।
मूल विधा को दो प्रगामी तरंगों के योग के रूप में लिखिए; उनका आयाम और हर एक की ले जाई गई माध्य शक्ति दीजिए।

भाग II — हथौड़ा। हथौड़ा तार को $x_0 = L/8$ पर मारता है और उसे $t = 0$ पर वेग $v_0$ देता है, $w$ चौड़ाई के किसी छोटे खंड पर जो $x_0$ के चारों ओर है, और विस्थापन कोई नहीं।

सामान्य हल $y = \sum_nB_n\sin(n\pi x/L)\sin(\omega_nt)$ लिखिए और ज्याओं की लांबिकता से दिखाइए कि $B_n = \dfrac{2}{L\omega_n}\int_0^L\dot y(x, 0)\sin\dfrac{n\pi x}L\,\dd x$ ।
सँकरे प्रहार ( $w \ll L/n$ ) के लिए दिखाइए कि $B_n \approx \dfrac{2v_0w} {L\omega_n}\sin\dfrac{n\pi x_0}{L}$ ।
$x_0 = L/8$ के लिए कौन-से संनादी अनुपस्थित हैं? पियानो बनाने वाले $L/7$ से $L/8$ के पास क्यों मारते हैं (प्रश्न 5 देखिए)?
प्रगामी-तरंग चित्र में गति का वर्णन कीजिए: प्रहार-बिंदु से क्या निकलता है, सिरों पर क्या होता है, और कितने समय बाद आरंभिक अवस्था लौट आती है।
वास्तविक तार कुछ कड़ा होता है: उसकी विधाएँ $f_n = nf_1 \sqrt{1 + Bn^2}$ हैं, जहाँ $B = \pi^3Ed^4/(64TL^2)$ (स्वीकृत)। $B$ और आठवें संनादी की तीव्रता, प्रतिशत में और सेंट में, निकालिए ( $1$ सेंट = $2^{1/1200}$ का आवृत्ति-अनुपात)।
पियानो मिलाने वाले अष्टकों को “खींचते” क्यों हैं (ऊँचे स्वर कुछ तीव्र मिलाते हैं)?

भाग III — सेतु और ध्वनि-पट्ट। तार ध्वनि-पट्ट पर चिपके एक सेतु से होकर जाता है; और ध्वनि-पट्ट सेतु पर $Z_b = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ प्रतिबाधा के तार जैसा बरतता है।

तार की प्रतिबाधा $Z_s$ ; सेतु पर आयाम का परावर्तन गुणांक।
हर परावर्तन पर ध्वनि-पट्ट तक पहुँचती तरंग-ऊर्जा का अंश।
सेतु पर प्रति सेकंड परावर्तनों की संख्या; उससे ऊर्जा-क्षय का समय-नियतांक और ध्वनि के $60\,\mathrm{dB}$ (ऊर्जा में $10^6$ का गुणक) गिरने का समय निकालिए।
प्रश्न 6 के प्रहार के ठीक बाद ध्वनि-पट्ट में रिसती शक्ति; किसी धीमी बातचीत की शक्ति, लगभग $1 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ ध्वनि, से तुलना कीजिए।
अकेला तार लगभग अश्रव्य क्यों है, और ध्वनि-पट्ट इसका क्या करता है? (हवा की प्रतिबाधा $\rho c \approx 400\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ सोचिए, जो छोटे पृष्ठ से और बड़े पृष्ठ से अलग दिखती है।)
अवमंदक उठा हो तो A $_3$ तार ( $220\,\mathrm{Hz}$ ) तब बजने लगता है जब A $_4$ बजाया जाए: क्यों?
कोई पियानो बनाने वाला लंबी गूँज चाहता है: $Z_b$ बढ़ाना चाहिए या घटाना, और उससे क्या खोता है?

भाग IV — पटरी। कोई इस्पात-पटरी ( $E = 200\,\mathrm{GPa}$ , $\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , काट $70\,\mathrm{cm}^{2}$ )।

संपीडन तरंगों की चाल; किसी गाड़ी की ध्वनि को पटरी के अनुदिश और हवा से होकर $5\,\mathrm{km}$ जाने में लगा समय।
हथौड़े का प्रहार $25\,\mathrm{m}$ की पटरी-खंड में, जिसका एक सिरा मुक्त है, संपीडन-स्पंद भेजता है: प्रतिध्वनि का समय; और क्या वह प्रतिध्वनि संपीडन है या विरलन?
कोई $2\,\mathrm{MHz}$ की पराश्रव्य जाँच दरारें ढूँढ़ती है: इस्पात में तरंगदैर्घ्य; इस्पात–वायु दरार पर आयाम का परावर्तन गुणांक (हवा की प्रतिबाधा $400\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ); और कोई पतली दरार इतनी अच्छी तरह क्यों दिखती है।
भूकंप: चट्टान में संपीडन (P) तरंगें $6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ से और अपरूपण (S) तरंगें $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ से चलती हैं। कोई केंद्र S तरंग P तरंग के $20\,\mathrm{s}$ बाद लिखता है: स्रोत तक दूरी।
एक सारणी में इस समस्या की पाँचों तरंग-चालें (तार, पटरी, चट्टान P, चट्टान S, हवा) उस दृढ़ता और उस जड़त्व के साथ दीजिए जो हर एक को तय करते हैं।

हल

हल — समस्या 6.1.

1. $\mu = \rho\pi d^2/4 = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ ; $c = 2Lf = 334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T = \mu c^2 = 685\,\mathrm{N}$ ।

2. $\sigma = \rho c^2 = 0.87\,\mathrm{GPa}$ : अवकाश $2.3$ । $T \propto f^2$ : अतः आधे स्वर की तीव्रता $12\%$ जोड़ देती है, और एक अष्टक ऊपर उसे चौगुना कर देती है, $3.5\,\mathrm{GPa}$ — तब वह टूट जाता है।

3. $230 \times 685 \approx 160\,\mathrm{kN}$ , अर्थात् सोलह टन।

4. $c = 2Lf = 105\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $685\,\mathrm{N}$ पर: $\mu = T/c^2 = 63\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , अर्थात् $3.2\,\mathrm{mm}$ की इस्पात-छड़ — जो संनादी रूप से कंपने या सेतु पर मुड़ने के लिए कहीं अधिक कड़ी है; जबकि ताँबे से लपेटा पतला क्रोड बिना कड़ेपन के द्रव्यमान दे देता है।

5. $440$ , $880$ , $1320$ , $1760$ , $2200$ , $2640$ , $3080$ , $3520\,\mathrm{Hz}$ : $2$ , $4$ , $8$ अष्टक हैं; $3$ , $6$ किसी अष्टक से ऊपर पंचम; $5$ दो अष्टकों से ऊपर शुद्ध वृहत् तृतीय; और $7$ ( $3080/1760 = 1.75$ ) कोई कोमल लघु सप्तम है — अर्थात् विसंवादी।

6. $E = \tfrac14\mu L\omega^2A^2 = 0.25 \times 6.1 \times 10^{-3} \times 0.38 \times (2\pi \times 440)^2 \times (5 \times 10^{-4})^2 = 1.1\,\mathrm{mJ}$ ।

7. $A\sin kx\cos\omega t = \tfrac12A[\sin(kx - \omega t) + \sin(kx + \omega t)]$ : अर्थात् $0.25\,\mathrm{mm}$ आयाम की दो तरंगें; $Z = \mu c = 2.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; और हर एक $\tfrac12Z\omega^2(A/2)^2 = 0.49\,\mathrm{W}$ ले जाती है।

8. $\dot y(x, 0) = \sum_nB_n\omega_n\sin(n\pi x/L)$ ; इसे $\sin(m\pi x/L)$ से गुणा कर समाकलित कीजिए, और $\int_0^L\sin\sin = \tfrac L2\delta_{mn}$ लीजिए।

9. समाकल्य $v_0\sin(n\pi x/L)$ है, $w$ चौड़ाई भर, $x_0$ के चारों ओर, और वहाँ ज्या लगभग अचर रहती है।

10. $\sin(n\pi/8) = 0$ जब $n = 8, 16, \dots$ ; और चूँकि $B_n/B_1 = \sin(n\pi/8)/(n\sin(\pi/8))$ है, सातवाँ संनादी घटकर पहले का $1/7$ रह जाता है, जबकि संवादी $2$ से $6$ तक $0.9$ से $0.3$ बनाए रखते हैं: अर्थात् विसंवादी सप्तम पालतू बना दिया जाता है।

11. प्रहार-बिंदु से दो वेग-स्पंद विपरीत दिशाओं में निकलते हैं, सिरों पर उलटकर परावर्तित होते हैं, एक-दूसरे को पार करते और फिर जुड़ते हैं; और आरंभिक अवस्था $2L/c = 1/f_1 = 2.3\,\mathrm{ms}$ बाद लौट आती है।

12. $B = \pi^3 \times 2 \times 10^{11} \times 10^{-12}/(64 \times 685 \times 0.144) = 9.8 \times 10^{-4}$ ; $\sqrt{1 + 64B} = 1.031$ : अर्थात् $+3.1\%$ , और $1200\log_2(1.031) = 53$ सेंट।

13. किसी नीचे स्वर के संनादी ठीक गुणजों से तीव्र होते हैं; और उन्हें ऊँचे स्वरों की मूल आवृत्तियों से मिलाने (तथा विस्पंद टालने) के लिए ऊँचे स्वर कुछ तीव्र मिलाए जाते हैं।

14. $Z_s = \mu c = 2.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; $r = (2 - 2000)/2002 = -0.998$ ।

15. $1 - r^2 \approx 4Z_s/Z_b = 4 \times 10^{-3}$ ।

16. प्रति सेकंड $c/2L = 440$ परावर्तन: अतः क्षय-दर $440 \times 4 \times 10^{-3} = 1.8\,\mathrm{s}^{-1}$ , $\tau = 0.56\,\mathrm{s}$ ; और $60\,\mathrm{dB}$ के लिए $\ln10^6/1.8 = 7.7\,\mathrm{s}$ ।

17. $1.1\,\text{mJ} \times 1.8\,\text{s}^{-1} = 2\,\mathrm{mW}$ — अर्थात् किसी धीमी बातचीत से दो सौ गुना; और यही आप सुनते हैं।

18. $1\,\mathrm{mm}$ का तार लगभग कोई हवा नहीं धकेलता: हवा उसके चारों ओर से फिसल जाती है और उसकी विकिरित शक्ति नगण्य रहती है। ध्वनि-पट्ट तार की ऊर्जा सेतु से लेकर वर्ग मीटर भर हवा हिलाता है: अर्थात् क्षेत्रफल से प्रतिबाधा का मेल।

19. $440\,\mathrm{Hz}$ A $_3$ का दूसरा संनादी है: अतः सेतु उस तार को उसकी किसी विधा पर चला देता है — यही सहानुभूति-अनुनाद है।

20. $Z_b$ बढ़ाइए: तब हर परावर्तन पर कम ऊर्जा रिसती है और स्वर अधिक देर टिकता है — पर वह धीमा भी हो जाता है।

21. $c = 5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : पटरी में $1.0\,\mathrm{s}$ , हवा में $15\,\mathrm{s}$ ।

22. $50/5064 = 10\,\mathrm{ms}$ ; और मुक्त सिरे पर प्रतिबल का लुप्त होना आवश्यक है: अतः संपीडन विरलन बनकर लौटता है।

23. $\lambda = 2.5\,\mathrm{mm}$ ; $Z_{\text{इस्पात}} = \rho c = 4 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ के सामने $400$ : अतः $r \approx -1$ , पूर्ण परावर्तन: कोई भी खुली दरार, चाहे कितनी पतली हो, प्रतिध्वनि लौटा देती है।

24. $\Delta t = d(1/3.5 - 1/6) = d \times 0.119\,\mathrm{s}/\mathrm{km}$ : $d = 170\,\mathrm{km}$ ।

25. तार $334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $T$ , $\mu$ ); पटरी $5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ( $E$ , $\rho$ ); चट्टान P $6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ (संपीडन गुणांक, $\rho$ ); चट्टान S $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ (अपरूपण गुणांक, $\rho$ ); हवा $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $\gamma P$ , $\rho$ — अगला अध्याय)।