Qu'est-ce que « Relation de dispersion ; vitesse de phase » ?

Exemple 8.2 (Dispersif et non dispersif)

(i) Une corde sur un lit élastique (force de rappel $-Ky$ par unité de longueur, ou une chaîne de pendules), $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - Ky$ : $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ avec $\omega_c = \sqrt{K/\mu}$ — la relation de Klein–Gordon, la même que celle d’un plasma et d’un guide d’ondes (Chapitres 14 et 16) : $v_\varphi = c/\sqrt{1 - \omega_c^2/\omega^2} > c$, et aucun $k$ réel en dessous de la pulsation de coupure $\omega_c$. (ii) Ondes de gravité en eau profonde : $\omega^2 = gk$ (admis), $v_\varphi = \sqrt{g/k} = \sqrt{g\lambda/2\pi}$ : les grandes longueurs d’onde vont plus vite — $12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pour $100\,\mathrm{m}$, $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pour $1\,\mathrm{km}$. (iii) La chaîne d’atomes, $\omega = 2\omega_0|\sin(ka/2)|$ (Chapitre 6). (iv) La lumière dans le verre, $k = n(\omega)\omega/c$, d’où le spectre étalé par un prisme.

Exemple 8.7 (Klein–Gordon : plus vite que la lumière, et non)

Pour $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ : $v_\varphi = \omega/k$ et $v_g = c^2k/\omega$, donc $v_\varphi v_g = c^2$ : la vitesse de phase dépasse $c$ (dans l’ionosphère, les crêtes d’une onde à $10\,\mathrm{MHz}$ vont plus vite que la lumière) mais la vitesse de groupe, qui porte le signal, reste en dessous. Une vitesse de phase ne transporte ni énergie ni information — les crêtes sont comme la tache d’un faisceau de phare balayant un nuage lointain.