Wat is Dispersierelatie; fasesnelheid? — Natuurkunde

Definitie 8.1 Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Hoofdstuk 8 — Dispersie en golfpakketten

Een lineair, homogeen en in de tijd onveranderlijk medium laat de vlakke monochromatische golven $\underline s = A\,\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ toe (in complexe notatie; het fysische signaal is het reële deel), op voorwaarde dat $\omega$ en $k$ voldoen aan de dispersierelatie van het medium, $\mathcal D(\omega, k) = 0$ , opgelost als $k(\omega)$ of $\omega(k)$ . Voor reële $k$ loopt de golf zonder vervorming met de fasesnelheid

v_\varphi = \frac\omega k .

Het medium heet dispersieloos wanneer $v_\varphi$ niet van $\omega$ afhangt (dan is $\omega = ck$ en plant elk signaal zich onvervormd voort — de vergelijking van d’Alembert), en anders dispersief.

Links: drie dispersierelaties — een rechte lijn voor een dispersieloos medium, de hyperbool van Klein–Gordon met haar afsnijfrequentie, de parabool van golven op diep water. Rechts: voor de relatie van Klein–Gordon overtreft de fasesnelheid c en blijft de groepssnelheid eronder, met v_ v_g = c2. — Links: drie dispersierelaties — een rechte lijn voor een dispersieloos medium, de hyperbool van Klein–Gordon met haar afsnijfrequentie, de parabool van golven op diep water. Rechts: voor de relatie van Klein–Gordon overtreft de fasesnelheid $c$ en blijft de groepssnelheid eronder, met $v_\varphi v_g = c^2$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 8.2 (Dispersief en dispersieloos)

(i) Een snaar op een elastische bedding (terugdrijvende kracht $-Ky$ per lengte-eenheid, of een keten van slingers), $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - Ky$ : $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ met $\omega_c = \sqrt{K/\mu}$ — de relatie van Klein–Gordon, dezelfde als die van een plasma en van een golfgeleider (Hoofdstukken 14 en 16): $v_\varphi = c/\sqrt{1 - \omega_c^2/\omega^2} > c$ , en er is geen reële $k$ beneden de afsnijfrequentie $\omega_c$ . (ii) Zwaartekrachtgolven op diep water: $\omega^2 = gk$ (aangenomen), $v_\varphi = \sqrt{g/k} = \sqrt{g\lambda/2\pi}$ : lange golven zijn sneller — $12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ voor $100\,\mathrm{m}$ , $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ voor $1\,\mathrm{km}$ . (iii) De keten van atomen, $\omega = 2\omega_0|\sin(ka/2)|$ (Hoofdstuk 6). (iv) Licht in glas, $k = n(\omega)\omega/c$ , en daarom spreidt een prisma een spectrum uit.

Voorbeeld 8.7 (Klein–Gordon: sneller dan het licht, en toch niet)

Voor $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ geldt $v_\varphi = \omega/k$ en $v_g = c^2k/\omega$ , dus $v_\varphi v_g = c^2$ : de fasesnelheid overtreft $c$ (in de ionosfeer bewegen de toppen van een golf van $10\,\mathrm{MHz}$ sneller dan het licht), maar de groepssnelheid, die het signaal draagt, blijft eronder. Een fasesnelheid vervoert geen energie en geen informatie — de toppen zijn als de lichtvlek van een vuurtoren die over een verre wolk strijkt.

Lees in het hoofdstuk →