2हैमिल्टोनियन यांत्रिकी

हल — अभ्यास 2.1.

(क) $p = m\dot x$, $H = p\dot x - L = p^2/2m + \tfrac12 kx^2 = E_k + E_p$। (ख) $\dot x = p/m$, $\dot p = -kx$, अतः $\ddot x = -(k/m)x$। (ग) $H = E$ वह दीर्घवृत्त $x^2/(2E/k) + p^2/(2mE) = 1$ है जिसके अर्ध-अक्ष $\sqrt{2E/k}$ और $\sqrt{2mE}$ हैं। (घ) दाहिने छोर के बिंदु पर ($x > 0$, $p = 0$) $\dot p = -kx < 0$: बिंदु नीचे की ओर चलता है — सदा दक्षिणावर्त।

हल — अभ्यास 2.2.

(क) $p = mR^2\dot\theta$; $H = p^2/2mR^2 - \tfrac12 m\omega^2R^2 \sin^2\theta - mgR\cos\theta = p^2/2mR^2 + U_{\text{प्र}}(\theta)$। (ख) संरक्षित ($H$ में स्पष्ट $t$ नहीं है), पर वह $h$ है, यांत्रिक ऊर्जा नहीं: मोटर का कार्य उसमें से गायब है। (ग) तलवक्र $p = \pm\sqrt{2mR^2(H - U_{\text{प्र}})}$ हैं: मंद घूर्णन के लिए $(0, 0)$ के चारों ओर अंडाकार और $\theta = \pi$ के काठी बिंदु से होकर एक पृथक्कारी वक्र; द्रुत घूर्णन के लिए $(\pm\theta_{\text{सा}}, 0)$ के चारों ओर अंडाकारों के दो कुल। (घ) द्रुत स्थिति: केंद्र $\pm\theta_{\text{सा}}$ पर; काठी बिंदु $\theta = 0$ और $\theta = \pi$ पर; $\theta = 0$ से होकर एक अष्टाकार पृथक्कारी वक्र गुज़रता है जो दोनों केंद्रों को घेरता है (लघु दोलन तल को लाँघ जाते हैं), और $\pi$ से होकर बाहरी पृथक्कारी वक्र, जिससे परे मनका शीर्ष के ऊपर से परिक्रमा करता है।

हल — अभ्यास 2.3.

(क) एक उड़ान चाप $p = \pm\sqrt{2m^2g(z_{\max} - z)}$ है — एक परवलय, जो अपनी बगल पर लेटा है और जिस पर $(0, +p_0)$ से $(z_{\max}, 0)$ तक और वापस $(0, -p_0)$ तक चला जाता है। (ख) उछाल $(0, -p_0)$ को $(0, +p_0)$ पर भेज देता है: एक ऊर्ध्वाधर खंड, जो पाश बंद कर देता है। (ग) $\oint p\,\dd z = 2\int_0^{z_{\max}}m\sqrt{2g(z_{\max} - z)}\,\dd z = \tfrac43 m\sqrt{2g}\,z_{\max}^{3/2}$, और $I$ उसे $2\pi$ से भाग देने पर। (घ) $z_n = \big[3nh/(4m\sqrt{2g})\big]^{2/3}$: किसी न्यूट्रॉन के लिए $z_1 = (6.7 \times 10^{-8})^{2/3} = 17\,\text{µ}\mathrm{m}$ — ठीक वही कोटि: ग्रेनोबल के प्रयोग में सबसे नीची गुरुत्वीय क्वांटम अवस्था $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ के पास मिली (सच्चे तरंग फलनों के साथ यथार्थ विवेचन $14\,\text{µ}\mathrm{m}$ देता है)।

हल — अभ्यास 2.4.

(क) $\{x^2, p\} = 2x$। (ख) $\{xp, H\} = p^2/m - x\,E_p'(x) = 2E_k - x\,E_p'$: किसी बद्ध गति पर $\dd(xp)/\dd t$ का समय-औसत लुप्त हो जाता है, अतः $\langle 2E_k\rangle = \langle x\,E_p'\rangle$ — विरियल प्रमेय ($E_p \propto x^2$ के लिए: $\langle E_k\rangle = \langle E_p\rangle$; $\propto -1/r$ के लिए: $2\langle E_k\rangle = -\langle E_p\rangle$)। (ग) $\{L_z, x\} = y$, $\{L_z, p_x\} = p_y$: $L_z$ स्थितियों और संवेगों, दोनों के घूर्णन उत्पन्न करता है। (घ) $h = H$ के साथ याकोबी: $\{\{f, g\}, H\} = -\{\{g, H\}, f\} - \{\{H, f\}, g\} = 0$।

हल — अभ्यास 2.5.

(क) $E_{\text{पृ}} = mg\ell$ (उलटी विराम-स्थिति की ऊर्जा); तल पर अधिकतम $|p| = 2m\ell^2\omega_0$। (ख) $p^2/2m\ell^2 = mg\ell(1 + \cos\theta) = 2mg\ell\cos^2(\theta/2)$ से। (ग) $\dot\theta = 2\omega_0\cos(\theta/2)$ पृथक हो जाता है: $\omega_0t = \ln\tan(\theta/4 + \pi/4)$, जो $\theta \to \pi$ पर अपसरित होता है: शीर्ष के पास पहुँचा जाता है, पर वहाँ कभी पहुँचा नहीं जाता। (घ) पृथक्कारी वक्र से ज़रा नीचे गति उसी की छाया बनकर चलती है: लोलक काठी बिंदु के पड़ोस में रेंगता है, ठहरता है — वही लघुगणक — और अंततः लौट पड़ता है; हर काठी बिंदु प्रक्षेप-पथों को लघुगणकीय रूप से धीमा करता है, और इसीलिए ठीक-ठीक न सधी छड़ गिरने से पहले झिझकती-सी लगती है।

हल — अभ्यास 2.6.

(क) $\dot{\vect r} = (\vect p - q\vect A)/m$ और $\dot p_x = -\partial H/\partial x = (q/m)(\vect p - q\vect A)\cdot\partial_x\vect A$ इत्यादि; $\vect p$ हटाने पर $m\ddot x = qB\dot y$, $m\ddot y = -qB\dot x$ फिर से मिल जाते हैं। (ख) $H = (\vect p - q\vect A)^2/2m = \tfrac12 m\vect v^{\,2}$: केवल गतिज ऊर्जा — और वह अचर, क्योंकि चुंबकीय बल $\vect v$ के लंबवत है। (ग) $m\dot x = p_x + \tfrac12 qBy$ के साथ: $\pi_x = p_x - \tfrac12 qBy = m\dot x - qBy$, जिसका संरक्षण गति का पहला समीकरण ही है (इसी तरह $\pi_y$); कोष्ठक में केवल दो पद बचते हैं: $\{p_x, \tfrac12 qBx\} = -\tfrac12 qB$ और $\{-\tfrac12 qBy, p_y\} = -\tfrac12 qB$, कुल $-qB$। ($\pi_x/qB$ और $\pi_y/qB$ चिह्नों को छोड़ दें तो वृत्त के मार्गदर्शक केंद्र के निर्देशांक हैं।) (घ) अभ्यास 2.4(घ) से दो संरक्षित राशियों का कोष्ठक संरक्षित है — यहाँ वह अचर $-qB$ है, जो तुच्छ रूप से संरक्षित है और कुछ नया नहीं सिखाता: कोई तीसरी राशि प्रकट नहीं होती।

हल — अभ्यास 2.7.

(क) प्रतिचित्रण $(q, p) \mapsto (q + pt/m, p)$ एक अपरूपण है: आयत का आधार और ऊँचाई अपरिवर्तित रहते हैं, क्षेत्रफल भी (सारणिक $1$)। (ख) चरों $(x\sqrt{m\omega}, p/\sqrt{m\omega})$ में प्रवाह दर $\omega$ का दृढ़ घूर्णन है; घूर्णन क्षेत्रफल बनाए रखते हैं, और चर-परिवर्तन का सारणिक $1$ है। (ग) वेग-क्षेत्र $(v, -\omega^2x - \gamma v)$ का अपसरण $-\gamma$ है: कोई भी क्षेत्रफल $\eu^{-\gamma t}$ की तरह सिकुड़ता है और मूल बिंदु पर सर्पिल होकर गिरता है — किसी हैमिल्टोनियन प्रवाह के लिए यह असंभव है। (घ) वह उपेक्षित स्वातंत्र्य कोटियों में चला जाता है: वायु के अणु और तार के फ़ोनॉन, जिनका कला-समष्टि आयतन कम से कम उतना ही बढ़ता है — यही दूसरे नियम का बीज है।

हल — अभ्यास 2.8.

(क) $\dot r = p_r/m$, $\dot\varphi = p_\varphi/mr^2$, $\dot p_r = p_\varphi^2/mr^3 - E_p'(r)$, $\dot p_\varphi = 0$। (ख) $H$ में $\varphi$ नहीं है: $\{p_\varphi, H\} = -\partial H/\partial\varphi = 0$; कोणीय संवेग का संरक्षण। (ग) $H_{\text{त्रि}} = p_r^2/2m + U_{\text{प्र}}(r)$, जहाँ $U_{\text{प्र}} = p_\varphi^2/2mr^2 + E_p(r)$। (घ) $U_{\text{प्र}}' = 0$: $r_{\text{c}} = p_\varphi^2/mk$, और $E = U_{\text{प्र}}(r_{\text{c}}) = -mk^2/2p_\varphi^2$।

हल — अभ्यास 2.9.

(क) $\{L_x, L_y\} = \{yp_z - zp_y,\ zp_x - xp_z\}$: केवल शून्येतर विहित कोष्ठक $yp_x\{p_z, z\} + xp_y\{z, p_z\} = -yp_x + xp_y = L_z$ देते हैं। (ख) चक्रीय पुनर्नामकरण $x \to y \to z \to x$ से शेष दोनों मिल जाते हैं। (ग) $\{L^2, L_z\} = 2L_x\{L_x, L_z\} + 2L_y\{L_y, L_z\} = -2L_xL_y + 2L_yL_x = 0$। (घ) $H = L^2/2J$ के लिए हर $\{L_i, H\} = 0$: $\vect L$ नियत। $H = \sum L_i^2/2J_i$ के साथ, जहाँ $J_i$ असमान हों: $\{L_x, H\} = L_yL_z(1/J_y - 1/J_z) \neq 0$ — केवल $L^2$ और $H$ बचते हैं, और पिंड लुढ़कने लगता है (वर्ष 2 के खंड के दृढ़-पिंड अध्याय की टेनिस-रैकेट प्रमेय यहीं रहती है)।

हल — अभ्यास 2.10.

(क) $\oint p\,\dd q = 2\pi I = 2\pi E/\omega = nh$ से $E_n = n\hbar\omega$। (ख) अचर $|p|$ पर आना-जाना: $2pa = nh$, $p = nh/2a$, $E = p^2/2m = n^2h^2/8ma^2$ — ठीक वही अनंत कूप जो वर्ष 2 के खंड में था। (ग) $\omega = \sqrt{k/\mu} = 4.1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $\hbar\omega = 4.3 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.27\,\mathrm{eV}$, $\lambda = hc/ \hbar\omega = 4.6\,\text{µ}\mathrm{m}$: मध्य-अवरक्त (CO का मूल बैंड, जिससे अंतरिक्ष में गैस का पता लगाया जाता है)। (घ) नहीं: स्तरों के अंतर उभयनिष्ठ आधे से नहीं बदलते। शून्य-बिंदु ऊर्जा उन तुलनाओं में दिखती है जो निरपेक्ष स्तर पर निर्भर हैं — वियोजन ऊर्जाओं के समस्थानिक विस्थापन (H$_2$ बनाम D$_2$), या वे कंपन जो क्रिस्टलों में परम शून्य पर भी बने रहते हैं।

हल — अभ्यास 2.11.

(क) $E = p^2/2m + \tfrac12 k(t)x^2$, अतः किसी गति के अनुदिश $\dot E = \partial E/\partial t = \tfrac12\dot kx^2$। (ख) लगभग नियत $k$ पर एक आवर्तकाल में $\langle\tfrac12 kx^2\rangle = E/2$, अतः $\langle\dot E\rangle = \dot k\,E/2k$। (ग) $\dd\ln E = \tfrac12\dd\ln k$; और चूँकि $\omega = \sqrt{k/m}$, इसलिए $\dd\ln\omega = \tfrac12\dd\ln k$ भी: $E/\omega$ निश्चर है। (घ) $\omega \propto \ell^{-1/2}$ $\sqrt2$ गुना बढ़ता है, अतः $E$ भी $\sqrt2 \approx 1.41$ गुना। $E = \tfrac12 mg\ell\theta_0^2$ के साथ $\theta_0 \propto \ell^{-3/4}$: $\theta_0' = 5^\circ \times 2^{3/4} = 8.4^\circ$। ऊर्जा वही देता है जो डोरी खींचता है: तनाव औसतन $mg\cos\theta$ से अधिक रहता है (अपकेंद्री पद), अतः खींचने से झूले पर कुल धनात्मक कार्य होता है।

हल — अभ्यास 2.12.

(क) $\oint p\,\dd\theta = 2\int_{-\pi}^{\pi}2m\ell^2\omega_0 \cos(\theta/2)\,\dd\theta = 4m\ell^2\omega_0\big[2\sin(\theta/2) \big]_{-\pi}^{\pi} = 16m\ell^2\omega_0$। (ख) $\omega_0 = 9.9\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: $16 \times 10^{-3} \times 10^{-2} \times 9.9 = 1.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, अर्थात् $N \approx 2.4 \times 10^{30}$ अवस्थाएँ: किसी प्रयोगशाला-लोलक की क्वांटम कणिकामयता किसी भी प्रेक्षणीय वस्तु से तीस कोटि नीचे है। (ग) $16 \times 10^{-26} \times 10^{-20} \times 10^{14} = 1.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, अर्थात् $N \approx 240$: किसी आणविक आंदोलन में केवल कुछ सौ क्वांटम अवस्थाएँ होती हैं, और उसके निचले स्तर वर्णक्रममापी से अलग-अलग सुलझा लिए जाते हैं। (घ) सीमा वहाँ है जहाँ गति के कला-समष्टि क्षेत्रफल $h$ के कुछ ही गुने हों: अणु और उससे नीचे सब क्वांटम हैं; जो कुछ दिखाई देता है, वह चिरसम्मत है।