कला-आरेख क्या है? — भौतिकी

परिभाषा 13.14 विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1 · अध्याय 13 — कार्य, ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा

किसी एक-विमीय गति का कला-आरेख उन वक्रों का कुल है जिन्हें बिंदु $(x, \dot x)$ कला-तल में खींचता है। किसी संरक्षी निकाय के लिए हर वक्र एक स्तर-रेखा $\tfrac12 m\dot x^2 + E_p(x) = E_m$ है: स्थायी साम्यावस्थाओं के चारों ओर बंद वक्र (दोलन), मुक्त गति के लिए खुले वक्र, और अस्थायी साम्यावस्थाओं में से होकर जाते वे विभाजक वक्र जो दोनों को अलग करते हैं। वक्र दक्षिणावर्त तय होते हैं ( $\dot x > 0$ का अर्थ है $x$ का बढ़ना) और कभी एक-दूसरे को काटते नहीं।

सरल लोलक का कला-आरेख, 1/2 2 + _02(1 - ) = नियतांक। बंद वक्र (नीले): स्थायी साम्यावस्था = 0 के आसपास झूले; खुले वक्र (नारंगी): पूरे घूर्णन; और उनके बीच अस्थायी साम्यावस्थाओं = ±π से होकर जाता विभाजक वक्र (लाल), यानी वह गति जो ठीक शिखर तक पहुँच पाती है। — सरल लोलक का कला-आरेख, $\tfrac12\dot\theta^2 + \omega_0^2(1 - \cos\theta) = \text{नियतांक}$ । बंद वक्र (नीले): स्थायी साम्यावस्था $\theta = 0$ के आसपास झूले; खुले वक्र (नारंगी): पूरे घूर्णन; और उनके बीच अस्थायी साम्यावस्थाओं $\theta = \pm\pi$ से होकर जाता विभाजक वक्र (लाल), यानी वह गति जो ठीक शिखर तक पहुँच पाती है।

उदाहरण

उदाहरण 13.15 (लोलक का परिदृश्य)

$E_p = -mg\ell\cos\theta$ : $\theta = 0$ पर निम्निष्ठ, $E_p'' = mg\ell$ , अतः $\omega_0^2 = g\ell/(m\ell^2) = g/\ell$ — यानी उदाहरण 12.12 का छोटे-दोलन वाला परिणाम, जो कूप की वक्रता से ही पढ़ लिया गया; और $\theta = \pi$ पर उच्चिष्ठ, यानी उलटा लोलक, अस्थायी। ऊर्जा $E_m < mg\ell$ : $\pm\theta_{\max}$ के बीच दोलन; $E_m > mg\ell$ : वह शिखर के पार जाकर घूमता रहता है; $E_m = mg\ell$ : विभाजक वक्र, यानी शिखर तक अनंत रूप से धीमा पहुँचना।

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