विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1 · Bachelor Year 1

13कार्य, ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा

कोई साइकिल-सवार पहाड़ी के शिखर पर पैडल चलाना बंद कर देता है और नीचे ऐसी चाल से पहुँचता है जो ढलान की ऊँचाई पर निर्भर करती है, सड़क के आकार पर नहीं। कोई बंजी-कूदक साठ मीटर गिरता है और ठीक वहीं क्षण भर को रुक जाता है जहाँ डोरी का खिंचाव पतन से मिली सारी चाल खा चुका होता है। क्लोरीन के परमाणु से बँधा हाइड्रोजन का कोई परमाणु ऐसे कूप में कंपन करता है जिसकी गहराई उस ऊर्जा के बराबर है जो अणु को तोड़ने में लगती है। हर प्रसंग में एक ही संख्या रूपों के बीच बदलती रहती है — गति, ऊँचाई, खिंचाव, बंध — और जोड़ देने पर वह बदलती नहीं। यह अध्याय वही बहीखाता न्यूटन के दूसरे नियम से खड़ा करता है: कार्य और शक्ति, गतिज-ऊर्जा प्रमेय, उन बलों की स्थितिज ऊर्जाएँ जो उसकी अनुमति देते हैं, और यांत्रिक ऊर्जा का वह संरक्षण जो गतिकी की बहुत-सी समस्याओं को एक पंक्ति के बीजगणित में बदल देता है और किसी स्थितिज कूप के आकार से यह समझा देता है कि कौन-सी स्थितियाँ स्थायी हैं।

व्याख्याता का लोलक: नाक से छोड़ी गई गेंदबाज़ी की गेंद लौटकर नाक तक ही आती है, उससे आगे नहीं — यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है, और उससे कभी अधिक नहीं होती।

13.1 शक्ति और कार्य

परिभाषा 13.1 (किसी बल की शक्ति और कार्य)

किसी ऐसे बल $\vect F$ की शक्ति, जो $\vect v$ वेग से चलते किसी बिंदु पर लग रहा हो, है

\mathcal P = \vect F\cdot\vect v \qquad (\text{वाट}),

और समय $t_1$ तथा $t_2$ के बीच (स्थितियाँ $A$ और $B$ ) उसका कार्य संचित शक्ति है,

W_{A\to B} = \int_{t_1}^{t_2}\vect F\cdot\vect v\,\dd t = \int_A^B \vect F\cdot\dd\vect\ell \qquad (\text{जूल}),

जो अल्प कार्यों $\delta W = \vect F\cdot\dd\vect\ell$ का योग है, जिन्हें गतिपथ के अल्प विस्थापनों $\dd\vect\ell = \vect v\,\dd t$ के अनुदिश जोड़ा जाता है। कार्य धनात्मक है यदि बल गति की दिशा में धकेले (प्रेरक), ऋणात्मक यदि उसके विरुद्ध हो (प्रतिरोधी), और शून्य यदि वह लंब हो।

प्रतिज्ञप्ति 13.2 (जिन कार्यों से सामना होता है)

अचर बल: $W_{A\to B} = \vect F\cdot\vect{AB}$ , पथ चाहे कोई भी हो। भार: $W = mg(z_A - z_B)$ , जहाँ $z$ ऊपर की ओर गिना जाता है।
$k$ दृढ़ता की स्प्रिंग, वृद्धि $x_A$ से $x_B$ तक: $W = \tfrac12 k(x_A^2 - x_B^2)$ ।
किसी स्थिर पृष्ठ की अभिलंब प्रतिक्रिया, और उस पर लंब चलते पिंड पर डोरी का तनाव: $W = 0$ (बल $\perp$ विस्थापन)।
गतिज घर्षण और कर्षण: सदा $W < 0$ (बल सापेक्ष गति का विरोध करता है), और यह पथ की लंबाई पर निर्भर करता है।

उपपत्ति. अचर $\vect F$ : $\int\vect F\cdot\dd\vect\ell = \vect F\cdot\int\dd\vect\ell = \vect F\cdot\vect{AB}$ ; और $\vect F = -mg\vect e_z$ के साथ $\vect F\cdot\vect{AB} = -mg(z_B - z_A)$ । स्प्रिंग: $\vect F\cdot\dd\vect\ell = -kx\,\dd x$ , और $\int_{x_A}^{x_B}-kx\,\dd x = \tfrac12 k(x_A^2 - x_B^2)$ । घर्षण: $\vect T = -\mu N\vect v/v$ , अतः $\vect T\cdot\vect v = -\mu Nv < 0$ । ∎

किसी बल का अल्प कार्य, जब उसका क्रिया बिंदु थोड़ा-सा विस्थापित होता है: केवल F का गति के अनुदिश घटक ही कार्य करता है। A से B तक पथ पर जोड़ने से वह W_A B देता है। — किसी बल का अल्प कार्य, जब उसका क्रिया बिंदु थोड़ा-सा विस्थापित होता है: केवल $\vect F$ का गति के अनुदिश घटक ही कार्य करता है। $A$ से $B$ तक पथ पर जोड़ने से वह $W_{A\to B}$ देता है।

13.2 गतिज-ऊर्जा प्रमेय

प्रमेय 13.3 (गतिज-ऊर्जा और शक्ति प्रमेय)

किसी जड़त्वीय तंत्र में किसी बिंदु कण की गतिज ऊर्जा $E_k = \tfrac12 mv^2$ इस नियम का पालन करती है

\frac{\dd E_k}{\dd t} = \sum\mathcal P_i = \Big(\sum\vect F_i\Big)\cdot\vect v, \qquad E_k(B) - E_k(A) = \sum_i W_{i,A\to B}:

अर्थात् दो स्थितियों के बीच गतिज ऊर्जा का परिवर्तन रास्ते भर लगे सभी बलों के कुल कार्य के बराबर होता है।

उपपत्ति. न्यूटन के दूसरे नियम का $\vect v$ के साथ अदिश गुणन कीजिए: $m\vect a\cdot\vect v = \tfrac{\dd}{\dd t}(\tfrac12 m\vect v\cdot\vect v) = \dd E_k/\dd t$ , जबकि $(\sum\vect F_i)\cdot\vect v = \sum\mathcal P_i$ । अब समय पर समाकलन कीजिए। ∎

उदाहरण 13.4 (ब्रेक-दूरी)

$100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर चलती $1000\,\mathrm{kg}$ की कोई कार ( $E_k = 386\,\mathrm{kJ}$ ), जिसे अचर $7.0\,\mathrm{kN}$ बल से रोका जाए, $d = E_k/F = 55\,\mathrm{m}$ के बाद रुक जाती है: यह दूरी चाल के वर्ग की तरह बढ़ती है। चूँकि अधिकतम ब्रेक-बल $\mu_smg$ है (अध्याय 12), रुकने की न्यूनतम दूरी $v^2/2\mu_sg$ होती है, कार का द्रव्यमान चाहे जो हो — और गीली सड़क पर, जहाँ $\mu_s$ आधा रह जाता है, वह दुगुनी हो जाती है।

13.3 संरक्षी बल और स्थितिज ऊर्जा

परिभाषा 13.5 (संरक्षी बल; स्थितिज ऊर्जा)

कोई बल संरक्षी है यदि दो बिंदुओं के बीच उसका कार्य अपनाए गए पथ पर निर्भर न करे। समान रूप से, स्थिति का ऐसा कोई फलन होता है, स्थितिज ऊर्जा $E_p$ , कि

W_{A\to B} = E_p(A) - E_p(B) = -\Delta E_p , \qquad \delta W = -\dd E_p ,

जहाँ $E_p$ किसी योज्य नियतांक तक (यानी मूल के चुनाव तक) परिभाषित है।

प्रतिज्ञप्ति 13.6 (स्थितिज ऊर्जा से बल)

कोई संरक्षी बल अपनी स्थितिज ऊर्जा से व्युत्पन्न होता है:

\vect F = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,E_p = -\frac{\partial E_p}{\partial x}\,\vect e_x - \frac{\partial E_p}{\partial y}\,\vect e_y - \frac{\partial E_p}{\partial z}\,\vect e_z ,

और एक विमा में $F_x = -\dd E_p/\dd x$ : बल घटती स्थितिज ऊर्जा की ओर इंगित करता है, यानी $E_p$ के आलेख पर “ढलान से नीचे”।

उपपत्ति. हर विस्थापन के लिए $\delta W = F_x\dd x + F_y\dd y + F_z\dd z = -\dd E_p = -(\partial_xE_p\,\dd x + \partial_yE_p\,\dd y + \partial_zE_p\,\dd z)$ : अब गुणांकों की तुलना कीजिए (कई चरों वाले किसी फलन का अवकल, गणित के पाठ्यक्रम से)। ∎

प्रतिज्ञप्ति 13.7 (सामान्य स्थितिज ऊर्जाएँ)

भार: $E_p = mgz + \text{नियतांक}$ ( $z$ ऊपर की ओर)।
स्प्रिंग: $E_p = \tfrac12 k(\ell - \ell_0)^2 + \text{नियतांक}$ ।
$M$ द्रव्यमान का न्यूटनी गुरुत्वाकर्षण: $E_p = -GMm/r + \text{नियतांक}$ , जहाँ नियतांक प्रायः ऐसा चुना जाता है कि अनंत पर $E_p \to 0$ हो।
किसी आवेश $q$ पर, जो विभव $V$ में हो, लगता स्थिरवैद्युत बल: $E_p = qV$ (अध्याय 27)।

गतिज घर्षण और तरल कर्षण संरक्षी नहीं हैं (उनका कार्य पथ पर निर्भर करता है, और सदा ऋणात्मक होता है)।

उपपत्ति. हर एक प्रतिज्ञप्ति 13.2 के कार्यों से पढ़ा जाता है: $W = -\Delta E_p$ । गुरुत्व के लिए $\vect F = -GMm/r^2\,\vect e_r$ और $\delta W = -GMm\,\dd r/r^2 = -\dd(-GMm/r)$ । ∎

13.4 यांत्रिक ऊर्जा

प्रमेय 13.8 (यांत्रिक ऊर्जा)

मान लीजिए $E_m = E_k + E_p$ यांत्रिक ऊर्जा है, जहाँ $E_p$ संरक्षी बलों की स्थितिज ऊर्जाओं का योग है। तब

\Delta E_m = W_{\text{असं}} ,

यानी असंरक्षी बलों का कुल कार्य। यदि वे कोई कार्य न करें (घर्षण न हो, या प्रतिबंध-बल गति पर लंब हों), तो $E_m$ संरक्षित रहती है: गति संरक्षी होती है।

उपपत्ति. $\Delta E_k = W_{\text{सं}} + W_{\text{असं}} = -\Delta E_p + W_{\text{असं}}$ । ∎

विधि 13.9 (ऊर्जा का प्रयोग)

जब कोई समस्या किसी स्थिति पर चाल पूछे (समय नहीं, बल नहीं), तो पहले ऊर्जा आज़माइए:

बलों की सूची बनाइए; देखिए कौन कार्य करते हैं और कौन संरक्षी हैं;
दोनों स्थितियों पर $E_m$ लिखिए, और $E_p$ के लिए एक स्पष्ट मूल तय कीजिए;
दोनों को बराबर कीजिए (घर्षण लग रहा हो तो $W_{\text{असं}}$ जोड़कर) और अज्ञात चाल या स्थिति के लिए हल कीजिए।

ऊर्जा कभी समय या प्रतिबंध-बल नहीं देती; उनके लिए न्यूटन के नियम पर लौटिए — प्रायः उसी चाल के साथ जो ऊर्जा ने अभी-अभी दी है।

उदाहरण 13.10 (पाश का चाल-नियम)

समस्या 11.1 के घर्षणहीन पाश पर पटरी की प्रतिक्रिया गति पर अभिलंब है और कोई कार्य नहीं करती: अतः $E_m$ संरक्षित है। तल से ऊपर $z = R(1 - \cos\theta)$ लेने पर $\tfrac12 mv^2 + mgR(1 - \cos\theta) = \tfrac12 mv_0^2$ : वहाँ प्रयुक्त चाल-नियम $v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)$ अब एक ही पंक्ति में व्युत्पन्न हो गया। न्यूनतम प्रवेश-चाल $\sqrt{5gR}$ इसके बाद उदाहरण 12.16 की शिखर-शर्त $v^2 \geq gR$ से निकल आती है।

उदाहरण 13.11 (घर्षण में खोई ऊर्जा)

कोई गुटका $\alpha$ कोण और $h$ ऊँचाई की ढलान पर गतिज घर्षण $\mu_d$ के साथ नीचे फिसलता है: $W_{\text{असं}} = -\mu_dmg\cos\alpha \times h/\sin\alpha = -\mu_dmgh\cot\alpha$ , अतः $\tfrac12 mv^2 = mgh(1 - \mu_d\cot\alpha)$ । $h = 2.0\,\mathrm{m}$ , $\alpha = 30^\circ$ , $\mu_d = 0.20$ के लिए: $v = 5.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , न कि $6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; स्थितिज ऊर्जा का एक तिहाई ऊष्मा बन गया।

13.5 साम्यावस्था, स्थायित्व और कला-आरेख

प्रतिज्ञप्ति 13.12 (एक विमा में साम्यावस्था और स्थायित्व)

स्थितिज ऊर्जा $E_p(x)$ वाले किसी संरक्षी बल के अधीन किसी अक्ष पर चलता कोई कण:

$x_0$ पर साम्यावस्था में है यदि और केवल यदि $F(x_0) = -E_p'(x_0) = 0$ : यानी $E_p$ के चरम बिंदुओं पर;
साम्यावस्था स्थायी है यदि वहाँ $E_p$ का कोई स्थानीय निम्निष्ठ हो ( $E_p''(x_0) > 0$ ): छोटा-सा विस्थापन प्रत्यानयन बल पैदा करता है; और किसी उच्चिष्ठ पर वह अस्थायी होती है;
किसी स्थायी साम्यावस्था के पास छोटी गतियाँ आवर्त होती हैं, जिनमें

$\omega_0^2 = \frac{E_p''(x_0)}{m} .$

उपपत्ति. टेलर का सूत्र (गणित का पाठ्यक्रम): $E_p(x) \approx E_p(x_0) + \tfrac12 E_p''(x_0)(x - x_0)^2$ , अतः $F \approx -E_p''(x_0)(x - x_0)$ और $m\ddot x = -E_p''(x_0)(x - x_0)$ — यानी $E_p''(x_0)$ दृढ़ता वाली एक स्प्रिंग। $E_p'' < 0$ के लिए “दृढ़ता” ऋणात्मक है: चरघातांकी पलायन। ∎

एक-विमीय स्थितिज परिदृश्य: निम्निष्ठ स्थायी साम्यावस्थाएँ हैं और उच्चिष्ठ एक अस्थायी। अवरोध से नीचे ऊर्जा E_1 वाला कोई कण एक ही कूप में दो पलटाव बिंदुओं के बीच फँसा रहता है (जहाँ E_p = E_1, तीर) और दोलन करता है; E_2 के साथ, जो अवरोध से ऊपर है, वह एक कूप से दूसरे में स्वतंत्र रूप से चला जाता है। — एक-विमीय स्थितिज परिदृश्य: निम्निष्ठ स्थायी साम्यावस्थाएँ हैं और उच्चिष्ठ एक अस्थायी। अवरोध से नीचे ऊर्जा $E_1$ वाला कोई कण एक ही कूप में दो *पलटाव बिंदुओं* के बीच फँसा रहता है (जहाँ $E_p = E_1$ , तीर) और दोलन करता है; $E_2$ के साथ, जो अवरोध से ऊपर है, वह एक कूप से दूसरे में स्वतंत्र रूप से चला जाता है।

परिभाषा 13.13 (पलटाव बिंदु; बद्ध और मुक्त गति)

ऊर्जा $E_m$ वाली किसी संरक्षी एक-विमीय गति में कण केवल वहीं हो सकता है जहाँ $E_p(x) \leq E_m$ (क्योंकि $E_k \geq 0$ ); और जिन बिंदुओं पर $E_p = E_m$ है वे पलटाव बिंदु कहलाते हैं, जहाँ वेग लुप्त होकर उलट जाता है। किसी स्थितिज कूप में दो पलटाव बिंदुओं के बीच फँसी गति बद्ध और आवर्ती होती है; यदि वह अनंत तक पहुँच सके तो मुक्त होती है; और $E_m$ से ऊँचा कोई स्थितिज अवरोध पार नहीं किया जा सकता।

परिभाषा 13.14 (कला-आरेख)

किसी एक-विमीय गति का कला-आरेख उन वक्रों का कुल है जिन्हें बिंदु $(x, \dot x)$ कला-तल में खींचता है। किसी संरक्षी निकाय के लिए हर वक्र एक स्तर-रेखा $\tfrac12 m\dot x^2 + E_p(x) = E_m$ है: स्थायी साम्यावस्थाओं के चारों ओर बंद वक्र (दोलन), मुक्त गति के लिए खुले वक्र, और अस्थायी साम्यावस्थाओं में से होकर जाते वे विभाजक वक्र जो दोनों को अलग करते हैं। वक्र दक्षिणावर्त तय होते हैं ( $\dot x > 0$ का अर्थ है $x$ का बढ़ना) और कभी एक-दूसरे को काटते नहीं।

सरल लोलक का कला-आरेख, 1/2 2 + _02(1 - ) = नियतांक। बंद वक्र (नीले): स्थायी साम्यावस्था = 0 के आसपास झूले; खुले वक्र (नारंगी): पूरे घूर्णन; और उनके बीच अस्थायी साम्यावस्थाओं = ±π से होकर जाता विभाजक वक्र (लाल), यानी वह गति जो ठीक शिखर तक पहुँच पाती है। — सरल लोलक का कला-आरेख, $\tfrac12\dot\theta^2 + \omega_0^2(1 - \cos\theta) = \text{नियतांक}$ । बंद वक्र (नीले): स्थायी साम्यावस्था $\theta = 0$ के आसपास झूले; खुले वक्र (नारंगी): पूरे घूर्णन; और उनके बीच अस्थायी साम्यावस्थाओं $\theta = \pm\pi$ से होकर जाता विभाजक वक्र (लाल), यानी वह गति जो ठीक शिखर तक पहुँच पाती है।

उदाहरण 13.15 (लोलक का परिदृश्य)

$E_p = -mg\ell\cos\theta$ : $\theta = 0$ पर निम्निष्ठ, $E_p'' = mg\ell$ , अतः $\omega_0^2 = g\ell/(m\ell^2) = g/\ell$ — यानी उदाहरण 12.12 का छोटे-दोलन वाला परिणाम, जो कूप की वक्रता से ही पढ़ लिया गया; और $\theta = \pi$ पर उच्चिष्ठ, यानी उलटा लोलक, अस्थायी। ऊर्जा $E_m < mg\ell$ : $\pm\theta_{\max}$ के बीच दोलन; $E_m > mg\ell$ : वह शिखर के पार जाकर घूमता रहता है; $E_m = mg\ell$ : विभाजक वक्र, यानी शिखर तक अनंत रूप से धीमा पहुँचना।

13.6 अभ्यास

अभ्यास 13.1 ★

$20\,\mathrm{kg}$ की कोई पेटी $5.0\,\mathrm{s}$ में अचर चाल से $3.0\,\mathrm{m}$ ऊपर उठाई जाती है। उठाने वाले बल का कार्य, भार का कार्य, और दी गई शक्ति। वही पेटी $\mu_d = 0.30$ वाले फ़र्श पर $3.0\,\mathrm{m}$ धकेली जाए: घर्षण का कार्य।

हल

हल — अभ्यास 13.1.

उठाने वाला बल $+mgh = 20 \times 9.81 \times 3.0 = 589\,\mathrm{J}$ ; भार $-589\,\mathrm{J}$ ; शक्ति $589/5.0 = 118\,\mathrm{W}$ । घर्षण: $-\mu_dmgd = -0.30 \times 196 \times 3.0 = -177\,\mathrm{J}$ ।

अभ्यास 13.2 ★

$100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर $1000\,\mathrm{kg}$ की कार की गतिज ऊर्जा; अचर $7.0\,\mathrm{kN}$ ब्रेक-बल के साथ रुकने की दूरी; चाल दुगुनी कर दी जाए तो उस दूरी का क्या होगा?

हल

हल — अभ्यास 13.2.

$E_k = \tfrac12 \times 1000 \times 27.8^2 = 386\,\mathrm{kJ}$ ; $d = E_k/F = 55\,\mathrm{m}$ ; $v$ दुगुना करने पर $E_k$ और $d$ चौगुने: $220\,\mathrm{m}$ ।

अभ्यास 13.3 ★

$500\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ दृढ़ता की कोई स्प्रिंग $10\,\mathrm{cm}$ दबाई जाती है और किसी घर्षणहीन क्षैतिज पटरी पर रखी $50\,\mathrm{g}$ की गेंद के सामने छोड़ दी जाती है। संचित ऊर्जा; गेंद की चाल।

हल

हल — अभ्यास 13.3.

$E_p = \tfrac12 \times 500 \times 0.10^2 = 2.5\,\mathrm{J}$ ; $v = \sqrt{2 \times 2.5/0.050} = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

अभ्यास 13.4 ★

$1.0\,\mathrm{m}$ लंबाई का कोई लोलक $60^\circ$ पर विराम से छोड़ा जाता है: ऊर्जा से तल पर चाल; फिर न्यूटन के नियम से वहाँ का तनाव ( $mg$ के मात्रकों में)।

हल

हल — अभ्यास 13.4.

$\tfrac12 mv^2 = mg\ell(1 - \cos 60^\circ)$ : $v = \sqrt{g\ell} = 3.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । तनाव: $T - mg = mv^2/\ell = mg$ , अतः $T = 2mg$ ।

अभ्यास 13.5 ★★

कोई गुटका $2.0\,\mathrm{m}$ ऊँचाई की $30^\circ$ ढलान पर विराम से नीचे फिसलता है, $\mu_d = 0.20$ । ऊर्जा प्रमेय से तल पर चाल; और आरंभिक स्थितिज ऊर्जा का वह अंश जो घर्षण में खो गया।

हल

हल — अभ्यास 13.5.

घर्षण $-\mu_dmg\cos\alpha\,(h/\sin\alpha)$ कार्य करता है, अतः

\tfrac12 mv^2 = mgh(1 - \mu_d\cot\alpha) = mgh(1 - 0.35),

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 2.0 \times 0.65} = 5.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $35\%$ खो गया।

अभ्यास 13.6 ★★

$E_p = -GMm/r$ का प्रयोग करते हुए दिखाइए कि पृथ्वी के पृष्ठ से उसके आकर्षण से छूटने के लिए आवश्यक चाल $v_e = \sqrt{2GM/R}$ है, और उसे निकालिए ( $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ , $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ )। उतने ही घनत्व पर दुगुनी त्रिज्या वाले किसी पिंड से पलायन चाल क्या होगी?

हल

हल — अभ्यास 13.6.

पिंड के अनंत तक पहुँचने के लिए $E_m = \tfrac12 mv^2 - GMm/R \geq 0$ चाहिए (जहाँ $E_p = 0$ और $v \to 0$ ): $v_e = \sqrt{2GM/R}$ , अर्थात्

v_e = \sqrt{\frac{2 \times 6.67\times10^{-11} \times 5.97\times10^{24}}{6.37\times10^6}} = 11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}.

समान घनत्व पर $M \propto R^3$ : अतः $v_e \propto R$ , यानी $22.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ।

अभ्यास 13.7 ★★

बंजी: $70\,\mathrm{kg}$ का कोई कूदक, $20\,\mathrm{m}$ स्वाभाविक लंबाई और $50\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ दृढ़ता की डोरी, विराम से कूदता है। डोरी का अधिकतम खिंचाव, कुल पतन, और अधिकतम तनाव (भार के मात्रकों में) निकालिए। चाल सबसे अधिक कहाँ है?

हल

हल — अभ्यास 13.7.

निम्नतम बिंदु: $mg(\ell_0 + x) = \tfrac12 kx^2$ , $25x^2 - 687x - 13734 = 0$ , $x = 41\,\mathrm{m}$ ; कुल पतन $61\,\mathrm{m}$ ; $T_{\max} = kx = 2.0\,\mathrm{kN} = 3.0\,mg$ (शुद्ध $2\,\mathrm{g}$ ऊपर की ओर)। चाल वहाँ सबसे अधिक है जहाँ शुद्ध बल लुप्त हो जाता है, $kx = mg$ : $x = 14\,\mathrm{m}$ , यानी छलाँग से $34\,\mathrm{m}$ नीचे।

अभ्यास 13.8 ★★

कोई साइकिल-सवार (साइकिल समेत $80\,\mathrm{kg}$ ) $5\%$ की ढलान पर $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चढ़ता है, और उसे कर्षण $\tfrac12\rho C_xSv^2$ का सामना है, जिसमें $C_xS = 0.50\,\mathrm{m}^{2}$ । गुरुत्व के विरुद्ध शक्ति, कर्षण के विरुद्ध, और कुल।

हल

हल — अभ्यास 13.8.

गुरुत्व: $mgv\sin\alpha = 80 \times 9.81 \times 5.0 \times 0.05 = 196\,\mathrm{W}$ ; कर्षण: $\tfrac12\rho C_xSv^3 = 0.5 \times 1.2 \times 0.50 \times 125 = 38\,\mathrm{W}$ ; कुल $234\,\mathrm{W}$ ।

अभ्यास 13.9 ★★

$m$ द्रव्यमान के किसी कण की $E_p(x) = E_0[(x/a)^4 - 2(x/a)^2]$ है। साम्यावस्थाएँ और उनका स्थायित्व, कूपों की गहराई, तथा किसी स्थायी साम्यावस्था के आसपास छोटे दोलनों की कोणीय आवृत्ति निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 13.9.

$E_p' = 4E_0(x^3/a^4 - x/a^2) = 0$ : $x = 0, \pm a$ । $E_p'' = E_0(12x^2/a^4 - 4/a^2)$ : $-4E_0/a^2$ , जो $0$ पर है (अस्थायी उच्चिष्ठ, $E_p = 0$ ), और $+8E_0/a^2$ , जो $\pm a$ पर है (स्थायी निम्निष्ठ, $E_p = -E_0$ ): यानी $E_0$ गहराई के कूप; $\omega_0^2 = 8E_0/ma^2$ ।

अभ्यास 13.10 ★★★

आवर्त दोलित्र $E_p = \tfrac12 kx^2$ के लिए दिखाइए कि कला-वक्र दीर्घवृत्त हैं, ऊर्जा $E$ के लिए उनके अर्ध-अक्ष दीजिए, और समझाइए कि सब एक ही समय में क्यों तय होते हैं।

हल

हल — अभ्यास 13.10.

$\tfrac12 m\dot x^2 + \tfrac12 kx^2 = E$ : यह $x_{\max} = \sqrt{2E/k}$ और $\dot x_{\max} = \sqrt{2E/m}$ अर्ध-अक्षों वाला दीर्घवृत्त है। गति आवर्त है और उसका आवर्तकाल $2\pi\sqrt{m/k}$ है, आयाम चाहे जो हो (समकालिकता), अतः हर दीर्घवृत्त उतना ही समय लेता है।

अभ्यास 13.11 ★★★

कोई छोटी वस्तु $R$ त्रिज्या के किसी घर्षणहीन अर्धगोले के शिखर से विराम से फिसलती है। ऊर्जा और न्यूटन के नियम का प्रयोग करके वह कोण निकालिए जिस पर, ऊर्ध्वाधर से नापते हुए, वह पृष्ठ छोड़ देती है; तब की ऊँचाई और तब की चाल भी।

हल

हल — अभ्यास 13.11.

ऊर्जा: $v^2 = 2gR(1 - \cos\theta)$ । त्रिज्य दिशा: $mg\cos\theta - N = mv^2/R$ , अतः $N = mg(3\cos\theta - 2)$ , जो $\cos\theta = 2/3$ पर शून्य है ( $\theta = 48^\circ$ ): ऊँचाई $2R/3$ , चाल $\sqrt{2gR/3}$ ।

अभ्यास 13.12 ★★★

$90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर चलती कोई कार पहिये जाम करके $80\,\mathrm{m}$ में रुक जाती है। ऊर्जा से $\mu_d$ निकालिए। ऊर्जा कहाँ गई? अवरोध-रोधी तंत्र (जिसमें पहिये लुढ़कते रहते हैं) कम दूरी में क्यों रोक देता है?

हल

हल — अभ्यास 13.12.

$\tfrac12 mv^2 = \mu_dmgd$ : $\mu_d = 625/(2 \times 9.81 \times 80) = 0.40$ । ऊर्जा टायर–सड़क के संपर्क में ऊष्मा बन गई (और एक घसीट-निशान)। लुढ़कते पहिये स्थैतिक घर्षण काम में लेते हैं, $\mu_s > \mu_d$ : बड़ा ब्रेक-बल, कम दूरी, और दिशा-नियंत्रण भी बना रहता है।

13.7 समस्या: किसी रासायनिक बंध का ऊर्जा-कूप

समस्या 13.1

सप्ताहांत समस्या — दो परमाणु, एक वक्र: किसी बंध की स्थितिज ऊर्जा को एक परिदृश्य की तरह पढ़ना — उसका फ़र्श, उसकी दीवारें, तल पर के छोटे कंपन, और उससे बाहर निकलने में लगती ऊर्जा

किसी द्विपरमाणुक अणु के दो परमाणुओं की अंतःक्रिया को इस स्थितिज ऊर्जा से प्रतिरूपित किया जाता है

E_p(r) = \epsilon\left[\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6}\right],

जहाँ $r$ नाभिकों के बीच की दूरी है। हाइड्रोजन क्लोराइड के लिए $\epsilon = 4.4\,\mathrm{eV}$ , $\sigma = 0.127\,\mathrm{nm}$ लीजिए, और मानिए कि हल्का हाइड्रोजन परमाणु ( $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ) चलता है जबकि भारी क्लोरीन टिका रहता है। $1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ; $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ; $N_A = 6.02 \times 10^{23}$ ।

भाग I — परिदृश्य।

$E_p$ की सीमाएँ $r \to 0$ और $r \to \infty$ पर दीजिए, और वक्र का रेखाचित्र बनाइए।
दिखाइए कि $E_p$ का एक ही निम्निष्ठ है, $r = \sigma$ पर, जिसका मान $-\epsilon$ है।
$u = (\sigma/r)^6$ के साथ दिखाइए कि $E_p = \epsilon(u^2 - 2u)$ : यानी $u$ में एक परवलय। उससे निम्निष्ठ फिर से निकालिए।
बल $F(r)$ व्यक्त कीजिए (प्रतिकर्षी हो तो धनात्मक) और $\sigma$ के दोनों ओर उसका चिह्न दीजिए।
$E_p$ और $F$ को $r = 1.2\sigma$ पर निकालिए (eV में और nN में)।
अणु की वियोजन ऊर्जा eV में और $\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ में क्या है? (हाइड्रोजन क्लोराइड की मापी गई बंध-ऊर्जा: $431\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ ।)
$r = \sigma$ पर स्थायित्व की कसौटी जाँचिए: $E_p''(\sigma)$ निकालिए।

भाग II — छोटे कंपन।

$E_p$ का $\sigma$ के आसपास द्वितीय कोटि का टेलर प्रसार लिखिए और कोई प्रभावी दृढ़ता $k$ पहचानिए।
$k$ निकालिए ( $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ में)।
कंपन की कोणीय आवृत्ति, आवृत्ति और तरंगदैर्घ्य निकालिए, और $\mathrm{cm}^{-1}$ में उसकी तरंग संख्या $1/\lambda$ भी।
हाइड्रोजन क्लोराइड का मापा गया कंपन $2990\,\mathrm{cm}^{-1}$ पर है। मेल पर, और इस पर कि प्रतिरूप क्या ठीक पकड़ता है, टिप्पणी कीजिए।
$300\,\mathrm{K}$ पर औसत कंपन ऊर्जा $k_BT$ की कोटि की होती है। कंपन का आयाम आँकिए और $\sigma$ से तुलना कीजिए।
उस कंपन में हाइड्रोजन परमाणु की अधिकतम चाल निकालिए।

भाग III — बड़े दोलन और बाहर का रास्ता।

कला-आरेख का वर्णन कीजिए: किन ऊर्जाओं पर बंद वक्र मिलते हैं, किन पर खुले, और उन्हें अलग क्या करता है?
$E_m = -\epsilon/2$ के लिए दोनों पलटाव बिंदु निकालिए ( $\sigma$ के मात्रकों में)।
दिखाइए कि उनका मध्यबिंदु $\sigma$ से आगे पड़ता है, और समझाइए कि गरम करने से (यानी कंपन ऊर्जा बढ़ाने से) औसत बंध-लंबाई क्यों बढ़ती है — यही तापीय प्रसार का मूल है।
बड़े दोलनों का आवर्तकाल $2\pi/\omega_0$ से बड़ा होता है या छोटा? दीवारों के आकार से तर्क दीजिए।
$E_m = -\epsilon/2$ से आरंभ करके अणु को वियोजित करने के लिए कितनी ऊर्जा देनी पड़ेगी? यदि वह $r = \sigma$ पर हाइड्रोजन परमाणु की गतिज ऊर्जा के रूप में दी जाए, तो वह कितनी चाल हुई?
दूर से धनात्मक कुल ऊर्जा लेकर पास आते दो परमाणु स्वयं कोई बद्ध अणु नहीं बना सकते। क्यों? इसके लिए क्या चाहिए?

भाग IV — कार्य, बल और ताप।

$r$ के $2\sigma$ से $\sigma$ तक जाने पर बंध-बल का कार्य निकालिए। वहाँ वह बल प्रेरक है या प्रतिरोधी?
बंध को $\sigma$ से $1.5\sigma$ तक अत्यंत धीरे-धीरे तानने के लिए किसी बाहरी कारक को जो कार्य करना पड़ेगा, वह निकालिए।
$F$ को $r = 0.9\sigma$ पर निकालिए और $r = 1.2\sigma$ से तुलना कीजिए: यह विषमता दबाने बनाम तानने के बारे में क्या बताती है?
किस ताप पर $k_BT$ $\epsilon$ के बराबर होगा? व्यवहार में अणु उससे कहीं कम ताप पर क्यों वियोजित हो जाते हैं?
कोई बेहतर प्रतिरूप (मोर्स) दीवारों का आकार बदल देता है पर बंध-लंबाई पर निम्निष्ठ बनाए रखता है। ऊपर के कौन-से परिणाम विधि के स्तर पर अपरिवर्तित रहेंगे, और कौन-सी संख्याएँ बदलेंगी?
सार दीजिए कि ऊर्जा-विधियाँ किन तीन तरीकों से काम में आईं: साम्यावस्था ढूँढ़ने में, कंपन आवृत्ति निकालने में, और यह जानने में कि छूटने के लिए क्या चाहिए।

हल

हल — समस्या 13.1.

1. $r \to 0$ : $+\infty$ ( $r^{-12}$ पद के कारण); $r \to \infty$ : $0^-$ । एक खड़ी दीवार, एक कूप, और एक लंबी पूँछ।

2. $E_p' = \epsilon[-12\sigma^{12}/r^{13} + 12\sigma^6/r^7] = 0$ तभी जब $(\sigma/r)^6 = 1$ : $r = \sigma$ , $E_p = \epsilon(1 - 2) = -\epsilon$ ।

3. $(\sigma/r)^{12} = u^2$ : $E_p = \epsilon(u^2 - 2u) = \epsilon[(u - 1)^2 - 1]$ , जो $u = 1$ ( $r = \sigma$ ) पर न्यूनतम है और उसका मान $-\epsilon$ है।

4. $F = -E_p' = (12\epsilon/\sigma)[(\sigma/r)^{13} - (\sigma/r)^7]$ : $r < \sigma$ के लिए धनात्मक (प्रतिकर्षी), और उससे आगे ऋणात्मक (आकर्षी)।

5. $(1/1.2)^6 = 0.335$ , $(1/1.2)^{12} = 0.112$ : $E_p = \epsilon(0.112 - 0.670) = -0.56\epsilon = -2.5\,\mathrm{eV}$ । $(1/1.2)^{13} = 0.0935$ , $(1/1.2)^7 = 0.279$ : $F = (12\epsilon/\sigma)(-0.186) = -2.2\epsilon/\sigma = -2.2 \times 7.0\times10^{-19}/1.27\times10^{-10} = -12\,\mathrm{nN}$ ।

6. $\epsilon = 4.4\,\mathrm{eV} = 4.4 \times 96.5 = 425\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ , जो मापे गए $431\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ के निकट है।

7. $E_p'' = \epsilon[156\sigma^{12}/r^{14} - 84\sigma^6/r^8]$ ; और $\sigma$ पर: $72\epsilon/\sigma^2 > 0$ : अतः स्थायी।

8. $E_p \approx -\epsilon + \tfrac12(72\epsilon/\sigma^2)(r - \sigma)^2$ : अतः $k = 72\epsilon/\sigma^2$ ।

9. $k = 72 \times 7.0\times10^{-19}/(1.27\times10^{-10})^2 = 3.1 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ।

10. $\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{3.1\times10^3/1.67\times10^{-27}} = 1.4 \times 10^{15}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $f = 2.2 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $\lambda = c/f = 1.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $1/\lambda = 7300\,\mathrm{cm}^{-1}$ ।

11. $2.4$ गुना अधिक: प्रतिरूप की दीवारें बहुत खड़ी हैं ( $r^{-12}$ क्रोड सहसंयोजक बंध का एक भोंडा विकल्प है), पर परिमाण की कोटि — $10^{14}$ Hz पर एक अवरक्त कंपन — ठीक है, और विधि (कूप की वक्रता) ठीक वही है जो बेहतर स्थितिजों के साथ भी काम में आती है।

12. $\tfrac12 kA^2 \approx k_BT$ : $A = \sqrt{2k_BT/k} = \sqrt{8.3\times 10^{-21}/3.1\times10^3} = 1.6 \times 10^{-12}\,\mathrm{m} = 0.013\sigma$ : बंध बस काँपता भर है।

13. $v_{\max} = A\omega_0 = 1.6\times10^{-12} \times 1.4\times10^{15} = 2.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ।

14. $-\epsilon < E_m < 0$ : $(\sigma, 0)$ के चारों ओर बंद वक्र — कंपन, बद्ध; $E_m > 0$ : खुले वक्र — परमाणु अलग हो जाते हैं; $E_m = 0$ : विभाजक वक्र, यानी वह परमाणु जो बस अनंत तक पहुँच पाता है।

15. $u^2 - 2u = -\tfrac12$ , जहाँ $u = (\sigma/r)^6$ : $u = 1 \pm 1/\sqrt2 = 1.71$ या $0.293$ ; $r = \sigma u^{-1/6}$ : यानी $0.915\sigma$ और $1.23\sigma$ ।

16. मध्यबिंदु $1.07\sigma > \sigma$ : बाहरी दीवार भीतरी से कोमल है, इसलिए परमाणु बाहर की ओर अधिक जगह पाता है; कालमाध्य दूरी ऊर्जा के साथ बढ़ती है — गरम बंध लंबे होते हैं, ठोस फैलते हैं।

17. बड़ा: कोमल बाहरी ओर प्रत्यानयन बल आवर्त सन्निकटन की मान्यता से दुर्बल है, इसलिए लौटने में अधिक समय लगता है।

18. $\epsilon/2 = 2.2\,\mathrm{eV} = 3.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ; $\sigma$ पर गतिज ऊर्जा के रूप में: $v = \sqrt{2 \times 3.5\times10^{-19}/1.67\times10^{-27}} = 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

19. ऊर्जा संरक्षण: $E_m > 0$ रहता है $> 0$ , वक्र खुला रहता है, और परमाणु एक ही भेंट के बाद उड़ जाते हैं। कोई तीसरा पिंड (दूसरा अणु, कोई दीवार, कोई फ़ोटॉन) अतिरिक्त ऊर्जा ले जाना ही चाहिए।

20. $W = E_p(2\sigma) - E_p(\sigma) = \epsilon(2^{-12} - 2 \times 2^{-6}) + \epsilon = 0.97\epsilon = 4.3\,\mathrm{eV}$ , धनात्मक: आकर्षण परमाणु को भीतर खींचता है, अतः प्रेरक।

21. $W_{\text{बाह्य}} = E_p(1.5\sigma) - E_p(\sigma) = \epsilon(0.0077 - 0.176) + \epsilon = 0.83\epsilon = 3.7\,\mathrm{eV}$ ।

22. $(1/0.9)^{13} = 3.93$ , $(1/0.9)^7 = 2.09$ : $F = +22\epsilon/\sigma = +120\,\mathrm{nN}$ , यानी $1.2\sigma$ पर के आकर्षण का दस गुना: किसी बंध को $10\%$ दबाना उसे $20\%$ तानने से कहीं महँगा है।

23. $T = \epsilon/k_B = 7.0\times10^{-19}/1.38\times10^{-23} = 5.1 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ । असली गैसें इससे कहीं नीचे वियोजित हो जाती हैं, क्योंकि ऊर्जाएँ वितरित होती हैं: अणुओं का एक अंश $k_BT$ से कई गुना ऊर्जा लिए रहता है (अध्याय 20)।

24. बचे रहेंगे: निम्निष्ठ पर साम्यावस्था, निम्निष्ठ पर $k = E_p''$ , वियोजन ऊर्जा $=$ गहराई, $E_p = E_m$ से पलटाव बिंदु, और विषमता $\Rightarrow$ प्रसार। बदलेंगे: $k$ के, आवृत्ति के और पलटाव बिंदुओं के मान।

25. साम्यावस्था: $E_p' = 0$ ; कंपन: $\omega_0^2 = E_p''/m$ ; पलायन: $E_m$ की कूप की कोर से तुलना।

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