¿Qué es Retrato de fases? — Física

Definición 13.14 Física universitaria — primer año · Capítulo 13 — Trabajo, energía y energía potencial

El retrato de fases de un movimiento unidimensional es la familia de curvas que traza el punto $(x, \dot x)$ en el plano de fases. Para un sistema conservativo, cada curva es una línea de nivel $\tfrac12 m\dot x^2 + E_p(x) = E_m$ : curvas cerradas alrededor de los equilibrios estables (oscilaciones), curvas abiertas para el movimiento libre y, pasando por los equilibrios inestables, las separatrices que dividen ambos tipos. Las curvas se recorren en sentido horario ( $\dot x > 0$ significa $x$ creciente) y nunca se cortan.

Retrato de fases del péndulo simple, 1/2 2 + _02(1 - ) = cte. Curvas cerradas (azul): oscilaciones en torno al equilibrio estable = 0; curvas abiertas (naranja): rotaciones completas; entre ellas la separatriz (roja) que pasa por los equilibrios inestables = ±π, el movimiento que apenas alcanza lo alto. — Retrato de fases del péndulo simple, $\tfrac12\dot\theta^2 + \omega_0^2(1 - \cos\theta) = \text{cte}$ . Curvas cerradas (azul): oscilaciones en torno al equilibrio estable $\theta = 0$ ; curvas abiertas (naranja): rotaciones completas; entre ellas la separatriz (roja) que pasa por los equilibrios inestables $\theta = \pm\pi$ , el movimiento que apenas alcanza lo alto.

Ejemplos

Ejemplo 13.15 (El paisaje del péndulo)

$E_p = -mg\ell\cos\theta$ : mínimo en $\theta = 0$ , $E_p'' = mg\ell$ , luego $\omega_0^2 = g\ell/(m\ell^2) = g/\ell$ — el resultado de pequeñas oscilaciones de Ejemplo 12.12 leído en la curvatura del pozo; máximo en $\theta = \pi$ , el péndulo invertido, inestable. Energía $E_m < mg\ell$ : oscilación entre $\pm\theta_{\max}$ ; $E_m > mg\ell$ : pasa por encima y rota; $E_m = mg\ell$ : la separatriz, una aproximación infinitamente lenta a lo alto.

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