Qu'est-ce que « Portrait de phase » ? — Physique

Définition 13.14 Physique universitaire — 1re année · Chapitre 13 — Travail, énergie et énergie potentielle

Le portrait de phase d’un mouvement à une dimension est la famille des courbes décrites par le point $(x, \dot x)$ dans le plan de phase. Pour un système conservatif, chaque courbe est une ligne de niveau $\tfrac12 m\dot x^2 + E_p(x) = E_m$ : courbes fermées autour des équilibres stables (oscillations), courbes ouvertes pour un mouvement libre, et, passant par les équilibres instables, les séparatrices qui distinguent les deux. Les courbes sont parcourues dans le sens des aiguilles d’une montre ( $\dot x > 0$ signifie $x$ croissant) et ne se coupent jamais.

Portrait de phase du pendule simple, 1/2 2 + _02(1 - ) = const. Courbes fermées (en bleu) : oscillations autour de l’équilibre stable = 0 ; courbes ouvertes (en orange) : rotations complètes ; entre les deux, la séparatrice (en rouge) qui passe par les équilibres instables = ±π, mouvement qui atteint tout juste le sommet. — Portrait de phase du pendule simple, $\tfrac12\dot\theta^2 + \omega_0^2(1 - \cos\theta) = \text{const}$ . Courbes fermées (en bleu) : oscillations autour de l’équilibre stable $\theta = 0$ ; courbes ouvertes (en orange) : rotations complètes ; entre les deux, la séparatrice (en rouge) qui passe par les équilibres instables $\theta = \pm\pi$ , mouvement qui atteint tout juste le sommet.

Exemples

Exemple 13.15 (Le paysage du pendule)

$E_p = -mg\ell\cos\theta$ : minimum en $\theta = 0$ , $E_p'' = mg\ell$ , donc $\omega_0^2 = g\ell/(m\ell^2) = g/\ell$ — le résultat des petites oscillations de l’Exemple 12.12, lu sur la courbure du puits ; maximum en $\theta = \pi$ , le pendule renversé, instable. Pour une énergie $E_m < mg\ell$ : oscillation entre $\pm\theta_{\max}$ ; pour $E_m > mg\ell$ : il passe le sommet et tourne ; pour $E_m = mg\ell$ : la séparatrice, une approche infiniment lente du sommet.

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