O que é Retrato de fase? — Física

Definição 13.14 Física universitária — 1.º ano · Capítulo 13 — Trabalho, energia e energia potencial

O retrato de fase de um movimento unidimensional é a família de curvas traçadas pelo ponto $(x, \dot x)$ no plano de fase. Para um sistema conservativo cada curva é uma linha de nível $\tfrac12 m\dot x^2 + E_p(x) = E_m$ : curvas fechadas em torno dos equilíbrios estáveis (oscilações), curvas abertas para o movimento livre e, passando pelos equilíbrios instáveis, as separatrizes que dividem os dois casos. As curvas são percorridas no sentido horário ( $\dot x > 0$ significa $x$ crescente) e nunca se cruzam.

Retrato de fase do pêndulo simples, 1/2 2 + _02(1 - ) = const. Curvas fechadas (azuis): oscilações em torno do equilíbrio estável = 0; curvas abertas (laranja): rotações completas; entre elas a separatriz (vermelha) pelos equilíbrios instáveis = ±π, o movimento que apenas alcança o topo. — Retrato de fase do pêndulo simples, $\tfrac12\dot\theta^2 + \omega_0^2(1 - \cos\theta) = \text{const}$ . Curvas fechadas (azuis): oscilações em torno do equilíbrio estável $\theta = 0$ ; curvas abertas (laranja): rotações completas; entre elas a separatriz (vermelha) pelos equilíbrios instáveis $\theta = \pm\pi$ , o movimento que apenas alcança o topo.

Exemplos

Exemplo 13.15 (A paisagem do pêndulo)

$E_p = -mg\ell\cos\theta$ : mínimo em $\theta = 0$ , $E_p'' = mg\ell$ , logo $\omega_0^2 = g\ell/(m\ell^2) = g/\ell$ — o resultado das pequenas oscilações do Exemplo 12.12, lido na curvatura do poço; máximo em $\theta = \pi$ , o pêndulo invertido, instável. Energia $E_m < mg\ell$ : oscilação entre $\pm\theta_{\max}$ ; $E_m > mg\ell$ : ele passa por cima e gira; $E_m = mg\ell$ : a separatriz, uma aproximação infinitamente lenta ao topo.

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