Wat is Faseportret? — Natuurkunde

Definitie 13.14 Universitaire natuurkunde — jaar 1 · Hoofdstuk 13 — Arbeid, energie en potentiële energie

Het faseportret van een eendimensionale beweging is de verzameling krommen die het punt $(x, \dot x)$ in het fasevlak beschrijft. Voor een conservatief systeem is elke kromme een niveaulijn $\tfrac12 m\dot x^2 + E_p(x) = E_m$ : gesloten krommen rond stabiele evenwichten (trillingen), open krommen bij vrije beweging, en, door de labiele evenwichten heen, de separatrices die de twee scheiden. De krommen worden met de klok mee doorlopen ( $\dot x > 0$ betekent toenemende $x$ ) en snijden elkaar nooit.

Faseportret van de wiskundige slinger, 1/2 2 + _02(1 - ) = const. Gesloten krommen (blauw): zwaaien rond het stabiele evenwicht = 0; open krommen (oranje): volledige omwentelingen; ertussen de separatrix (rood) door de labiele evenwichten = ±π, de beweging die de top net haalt. — Faseportret van de wiskundige slinger, $\tfrac12\dot\theta^2 + \omega_0^2(1 - \cos\theta) = \text{const}$ . Gesloten krommen (blauw): zwaaien rond het stabiele evenwicht $\theta = 0$ ; open krommen (oranje): volledige omwentelingen; ertussen de separatrix (rood) door de labiele evenwichten $\theta = \pm\pi$ , de beweging die de top net haalt.

Voorbeelden

Voorbeeld 13.15 (Het landschap van de slinger)

$E_p = -mg\ell\cos\theta$ : minimum bij $\theta = 0$ , $E_p'' = mg\ell$ , dus $\omega_0^2 = g\ell/(m\ell^2) = g/\ell$ — het resultaat voor kleine trillingen uit Voorbeeld 12.12, nu afgelezen van de kromming van de put; maximum bij $\theta = \pi$ , de omgekeerde slinger, labiel. Bij energie $E_m < mg\ell$ : trilling tussen $\pm\theta_{\max}$ ; bij $E_m > mg\ell$ : zij gaat over de top en draait rond; bij $E_m = mg\ell$ : de separatrix, een oneindig traag naderen van de top.

Lees in het hoofdstuk →