ما معنى المخطط الطوري؟ — الفيزياء

تعريف 13.14 الفيزياء الجامعية — السنة الأولى · الفصل 13 — الشغل والطاقة والطاقة الكامنة

المخطط الطوري لحركة في بُعد واحد هو جملة المنحنيات التي ترسمها النقطة $(x, \dot x)$ في المستوي الطوري. وفي جملة محافظة يكون كل منحن خطَّ مستوى $\tfrac12 m\dot x^2 + E_p(x) = E_m$ : فمنحنيات مغلقة حول مواضع التوازن المستقر (أي اهتزازات)، ومنحنيات مفتوحة للحركة الحرّة، وبينها، مارّةً بمواضع التوازن غير المستقر، المنحنيات الفاصلة التي تفصل الصنفين. وتُقطع المنحنيات في اتجاه عقارب الساعة ( $\dot x > 0$ يعني $x$ متزايدًا) ولا تتقاطع أبدًا.

المخطط الطوري للبندول البسيط، 1/2 2 + _02(1 - ) = ثابت. المنحنيات المغلقة (بالأزرق): تأرجحات حول التوازن المستقر = 0؛ والمنحنيات المفتوحة (بالبرتقالي): دورات كاملة؛ وبينها المنحني الفاصل (بالأحمر) المارّ بموضعَي التوازن غير المستقر = ±π، وهو الحركة التي تبلغ القمة بالكاد. — المخطط الطوري للبندول البسيط، $\tfrac12\dot\theta^2 + \omega_0^2(1 - \cos\theta) = \text{ثابت}$ . المنحنيات المغلقة (بالأزرق): تأرجحات حول التوازن المستقر $\theta = 0$ ؛ والمنحنيات المفتوحة (بالبرتقالي): دورات كاملة؛ وبينها المنحني الفاصل (بالأحمر) المارّ بموضعَي التوازن غير المستقر $\theta = \pm\pi$ ، وهو الحركة التي تبلغ القمة بالكاد.

أمثلة

مثال 13.15 (منظر البندول)

$E_p = -mg\ell\cos\theta$ : نهاية صغرى عند $\theta = 0$ مع $E_p'' = mg\ell$ ، ومنه $\omega_0^2 = g\ell/(m\ell^2) = g/\ell$ — وهي نتيجة الاهتزازات الصغيرة في المثال 12.12 مقروءةً من تقوّس البئر؛ ونهاية عظمى عند $\theta = \pi$ ، أي البندول المقلوب، وهو غير مستقرّ. وبالطاقة $E_m < mg\ell$ : اهتزاز بين $\pm\theta_{\max}$ ؛ وبالطاقة $E_m > mg\ell$ : يتجاوز القمة ويدور؛ وعند $E_m = mg\ell$ : المنحني الفاصل، أي اقتراب من القمة بطيء إلى ما لا نهاية.

اقرأ في الفصل ←