Anihilator কী?

Contoh 2.7 (Sebuah anihilator, dua arah)

Misalkan $F = \operatorname{Vect}\bigl((1, 2, 1),\ (1, 0, -1)\bigr) \subseteq \R^3$. Sebuah bentuk $\varphi = a\,e_1^* + b\,e_2^* + c\,e_3^*$ menganihilasi $F$ bila dan hanya bila

yakni $c = a$ dan $b = -a$, jadi $F^\circ = \R\,(e_1^* - e_2^* + e_3^*)$, berdimensi $3 - 2 = 1$ sebagaimana dituntut Teorema 2.6. Dibaca terbalik: $F = \{(x, y, z) : x - y + z = 0\}$ — bidangnya dipulihkan sebagai kernel satu-satunya bentuk yang merentang $F^\circ$. Beranjak dari keluarga perentang ke persamaan adalah menghitung anihilator; beranjak dari persamaan ke parametrisasi adalah menghitung pra-anihilator. (Periksa: kedua vektor perentangnya memenuhi $x - y + z = 0$.)

Contoh 2.11 (Rank dibaca dari kedua sisi)

Misalkan

Rank kolom: baris ketiga adalah jumlah dua baris pertama, jadi $\operatorname{rk} A \leq 2$; kolom $1$ dan $2$ bebas, sehingga $\operatorname{rk} A = 2$. Kernel transposnya: menyelesaikan $A^{\mathsf T}y = 0$ memberi $y \in \R\,(1, 1, -1)$, jadi $\ker A^{\mathsf T}$ berdimensi $1 = 3 - 2$: persis $(\operatorname{im} A)^\circ$ di bawah penyamaan $(\R^3)^*$ dengan vektor baris, sebagaimana ditegaskan Proposisi 2.10 — satu-satunya kaitan “baris$_3$ = baris$_1$ + baris$_2$” adalah anihilator ruang kolomnya. Rank baris ($2$ baris yang bebas) dan rank kolom berimpit bukan karena kebetulan, melainkan karena keduanya sama dengan $\operatorname{rk} A = \operatorname{rk} A^{\mathsf T}$.

Contoh 2.24 (Pasangan trace membelah ruang matriks)

Pada $\mathcal{M}_2(\R)$ dengan pasangan $\langle A, B\rangle = \operatorname{tr}(AB)$ dari Latihan 2.9: uraikan $M = \left(\begin{smallmatrix}1 & 4\\ 2 & 3\end{smallmatrix}\right)$ menjadi bagian setangkup dan bagian antisetangkup,

Maka $\operatorname{tr}(SA) = \operatorname{tr} \left(\begin{smallmatrix}-3 & 1\\ -3 & 3\end{smallmatrix}\right) = 0$: kedua bagiannya “ortogonal” terhadap pasangan trace — sebuah perwujudan fakta umum (yang dibuktikan pada soal akhir pekan bab ini) bahwa matriks antisetangkup persis membentuk anihilator matriks setangkup. Dualitas melihat penguraian $\mathcal{M}_n = \mathcal{S}_n \oplus \mathcal{A}_n$ sebelum hasil kali dalam apa pun dipilih.