Apa itu Dapat didiagonalkan, dapat ditrigonalkan?

Contoh 3.8 (Diagonalisasi dalam kerja)

Ambil $A = I + J = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2\end{smallmatrix}\right)$, dengan $J$ matriks yang semua unsurnya satu: dari $\operatorname{Sp}(J) = \{3, 0\}$ (Contoh 2.19) diperoleh $\operatorname{Sp}(A) = \{4, 1\}$, dengan ruang eigen $\R(1,1,1)$ dan bidang $\{x + y + z = 0\}$: dimensinya $1 + 2 = 3$, jadi dapat didiagonalkan (Teorema 3.6 (2)). Pangkatnya pun terhitung tanpa matriks pergantian basis: dengan $\Pi = J/3$ sebagai proyektor pada $\R(1,1,1)$,

(Periksa $k = 1$: $\frac{4-1}3 J + I = A$.) Pelajaran penutupnya: ketika ruang eigennya kasatmata, proyektor spektral menghitung pangkat lebih cepat daripada $PDP^{-1}$ mana pun — dan rumusnya memperlihatkan dinamikanya: $A^k$ tumbuh seperti $4^k$ sepanjang $(1,1,1)$ dan diam saja pada bidang ortogonalnya.

Contoh 3.10 (Mentrigonalkan dengan tangan)

Ambil $B = \begin{pmatrix}3 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$: di sini $\chi_B = X^2 - 4X + 4 = (X - 2)^2$, dan $\ker(B - 2I) = \ker\left(\begin{smallmatrix}1 & -1\\ 1 & -1\end{smallmatrix}\right)$ adalah garis yang direntang $e_1' = (1, 1)$: satu nilai eigen dengan ruang eigen berdimensi satu — jadi tidak dapat didiagonalkan, tetapi dapat ditrigonalkan (Teorema 3.9). Lengkapi basisnya dengan $e_2' = (1, 0)$ lalu hitung:

sehingga pada basis $(e_1', e_2')$ matriksnya menjadi $T = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{smallmatrix}\right)$. Pelajaran penutupnya: diagonal $T$ sudah terpaksa (kedua unsurnya wajib berupa nilai eigen ganda $2$); hanya unsur pojoknya yang bergantung pada pilihan $e_2'$, dan menskalakan $e_2'$ dapat membuatnya bernilai tak nol apa pun — “$1$” yang membandel itu adalah bayangan bagian nilpoten yang kelak dipisahkan Dunford.

Contoh 3.4 ($\chi$ yang sama, geometri yang berbeda)

Kedua matriks

berbagi polinomial karakteristik $(X - 2)^2$, trace, determinan, dan spektrum — namun keduanya tidak serupa: yang pertama punya $E_2$ berdimensi $2$ (multiplisitas geometrik $2$), yang kedua berdimensi $1$. Polinomial karakteristik hanya melihat multiplisitas aljabar; dimensi ruang eigen adalah invarian yang lebih halus, dan polinomial minimal yang memutuskan ($X - 2$ lawan $(X - 2)^2$). Pelajaran bagi semua pembahasan tentang keterdiagonalan: $\chi$ menyaring calonnya, tetapi kernel yang memberikan suara.