O que é Diagonalizável, triangularizável?

Exemplo 3.8 (A diagonalização posta a trabalhar)

$A = I + J = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2\end{smallmatrix}\right)$, com $J$ a matriz de uns: de $\operatorname{Sp}(J) = \{3, 0\}$ (Exemplo 2.19), $\operatorname{Sp}(A) = \{4, 1\}$, com autoespaços $\R(1,1,1)$ e o plano $\{x + y + z = 0\}$: dimensões $1 + 2 = 3$, diagonalizável (Teorema 3.6 (2)). Potências sem nenhuma matriz de mudança de base: com $\Pi = J/3$ o projetor sobre $\R(1,1,1)$,

(Confira $k = 1$: $\frac{4-1}3 J + I = A$.) A lição final: quando os autoespaços estão visíveis, os projetores espectrais calculam potências mais depressa do que $PDP^{-1}$ jamais fará — e a fórmula exibe a dinâmica: $A^k$ cresce como $4^k$ ao longo de $(1,1,1)$ e fica parado no plano ortogonal.

Exemplo 3.10 (Triangularizando à mão)

$B = \begin{pmatrix}3 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$: $\chi_B = X^2 - 4X + 4 = (X - 2)^2$, e $\ker(B - 2I) = \ker\left(\begin{smallmatrix}1 & -1\\ 1 & -1\end{smallmatrix}\right)$ é a reta gerada por $e_1' = (1, 1)$: um único autovalor, um autoespaço de dimensão um — não diagonalizável, mas triangularizável (Teorema 3.9). Complete a base com $e_2' = (1, 0)$ e calcule:

de modo que, na base $(e_1', e_2')$, a matriz é $T = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{smallmatrix}\right)$. A lição final: a diagonal de $T$ estava forçada (as duas entradas têm de ser o autovalor duplo $2$); só a entrada do canto dependia da escolha de $e_2'$, e reescalar $e_2'$ pode torná-la qualquer valor não nulo — o resistente “$1$” é a sombra da parte nilpotente que Dunford vai isolar.

Exemplo 3.4 (Mesmo $\chi$, geometria diferente)

As matrizes

têm o mesmo polinômio característico $(X - 2)^2$, o mesmo traço, o mesmo determinante, o mesmo espectro — e no entanto não são semelhantes: a primeira tem $E_2$ de dimensão $2$ (multiplicidade geométrica $2$), a segunda de dimensão $1$. O polinômio característico enxerga apenas multiplicidades algébricas; as dimensões dos autoespaços são o invariante mais fino, e o polinômio minimal arbitra ($X - 2$ contra $(X - 2)^2$). Moral para toda discussão de diagonalizabilidade: $\chi$ seleciona os candidatos, mas são os núcleos que depositam os votos.