Apa itu Polinomial karakteristik? — Matematika

Definisi 3.3 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 3 — Reduksi Endomorfisma

$\chi_u(X) = \det(X\,\mathrm{id} - u)$ — yang dihitung pada basis mana pun sebagai $\det(XI_n - A)$ , sebuah polinomial monik berderajat $n$ yang awet terhadap keserupaan (Teorema 2.17). Akarnya di $K$ persis semua nilai eigen ( $\lambda$ nilai eigen $\iff u - \lambda\,\mathrm{id}$ tidak injektif $\iff \chi_u(\lambda) = 0$ ), dan

\chi_u(X) = X^n - (\operatorname{tr} u)\, X^{n-1} + \dots + (-1)^n \det u .

Multiplisitas aljabar $m_\lambda$ sebuah nilai eigen adalah multiplisitasnya sebagai akar $\chi_u$ ; sedangkan multiplisitas geometrik adalah $\dim E_\lambda$ , dan $1 \leq \dim E_\lambda \leq m_\lambda$ .

Contoh

Contoh 3.4 ( $\chi$ yang sama, geometri yang berbeda)

Kedua matriks

\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} \qquad\text{dan}\qquad \begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}

berbagi polinomial karakteristik $(X - 2)^2$ , trace, determinan, dan spektrum — namun keduanya tidak serupa: yang pertama punya $E_2$ berdimensi $2$ (multiplisitas geometrik $2$ ), yang kedua berdimensi $1$ . Polinomial karakteristik hanya melihat multiplisitas aljabar; dimensi ruang eigen adalah invarian yang lebih halus, dan polinomial minimal yang memutuskan ( $X - 2$ lawan $(X - 2)^2$ ). Pelajaran bagi semua pembahasan tentang keterdiagonalan: $\chi$ menyaring calonnya, tetapi kernel yang memberikan suara.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait