Semua buku

Profesional

Aplikasi Tentang Pelatih Masuk Mulai membaca

Matematika · Glosarium

Apa itu Polinomial karakteristik?

Dikenal juga sebagai: multiplisitas aljabar · multiplisitas geometrik

Definisi 3.3 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 3 — Reduksi Endomorfisma

χu(X)=det⁡(X id−u)\chi_u(X) = \det(X\,\mathrm{id} - u) — yang dihitung pada basis mana pun sebagai det⁡(XIn−A)\det(XI_n - A), sebuah polinomial monik berderajat nn yang awet terhadap keserupaan (Teorema 2.17). Akarnya di KK persis semua nilai eigen (λ\lambda nilai eigen   ⟺  u−λ id\iff u - \lambda\,\mathrm{id} tidak injektif   ⟺  χu(λ)=0\iff \chi_u(\lambda) = 0), dan

χu(X)=Xn−(tr⁡u) Xn−1+⋯+(−1)ndet⁡u.\chi_u(X) = X^n - (\operatorname{tr} u)\, X^{n-1} + \dots + (-1)^n \det u .

Multiplisitas aljabar mλm_\lambda sebuah nilai eigen adalah multiplisitasnya sebagai akar χu\chi_u; sedangkan multiplisitas geometrik adalah dim⁡Eλ\dim E_\lambda, dan 1≤dim⁡Eλ≤mλ1 \leq \dim E_\lambda \leq m_\lambda.

Contoh

Contoh 3.4 (χ\chi yang sama, geometri yang berbeda)

Kedua matriks

(2002)dan(2102)\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} \qquad\text{dan}\qquad \begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}

berbagi polinomial karakteristik (X−2)2(X - 2)^2, trace, determinan, dan spektrum — namun keduanya tidak serupa: yang pertama punya E2E_2 berdimensi 22 (multiplisitas geometrik 22), yang kedua berdimensi 11. Polinomial karakteristik hanya melihat multiplisitas aljabar; dimensi ruang eigen adalah invarian yang lebih halus, dan polinomial minimal yang memutuskan (X−2X - 2 lawan (X−2)2(X - 2)^2). Pelajaran bagi semua pembahasan tentang keterdiagonalan: χ\chi menyaring calonnya, tetapi kernel yang memberikan suara.

Baca dalam konteks →

Istilah terkait