ما معنى قابل للتقطير، قابل للتثليث؟

مثال 3.8 (التقطير في العمل)

لتكن $A = I + J = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2\end{smallmatrix}\right)$، حيث $J$ المصفوفة التي كل عناصرها واحد: فمن $\operatorname{Sp}(J) = \{3, 0\}$ (المثال 2.19)، نجد $\operatorname{Sp}(A) = \{4, 1\}$، وبفضاءين ذاتيين هما $\R(1,1,1)$ والمستوي $\{x + y + z = 0\}$: وبأبعاد $1 + 2 = 3$، فهي قابلة للتقطير (المبرهنة 3.6 (2)). والقوى بلا أي مصفوفة تغيير أساس: فمع $\Pi = J/3$ الإسقاط على $\R(1,1,1)$،

(وللتحقق من $k = 1$: $\frac{4-1}3 J + I = A$.) والفكرة الختامية: حين تكون الفضاءات الذاتية ظاهرة، تحسب الإسقاطات الطيفية القوى أسرع مما ستفعله $PDP^{-1}$ يومًا — والصيغة تُظهر الحركية: فينمو $A^k$ مثل $4^k$ على امتداد $(1,1,1)$ ويبقى ثابتًا على المستوي المتعامد.

مثال 3.10 (تثليث يدوي)

$B = \begin{pmatrix}3 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$: $\chi_B = X^2 - 4X + 4 = (X - 2)^2$، و$\ker(B - 2I) = \ker\left(\begin{smallmatrix}1 & -1\\ 1 & -1\end{smallmatrix}\right)$ هو المستقيم المولَّد بالمتجهة $e_1' = (1, 1)$: أي قيمة ذاتية واحدة، وفضاء ذاتي ذو بعد واحد — فهي غير قابلة للتقطير، لكنها قابلة للتثليث (المبرهنة 3.9). نُتمّ الأساس بالمتجهة $e_2' = (1, 0)$ ونحسب:

ومنه تكون المصفوفة في الأساس $(e_1', e_2')$ هي $T = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{smallmatrix}\right)$. والفكرة الختامية: كان قطر المصفوفة $T$ مفروضًا (فلا بد أن يكون العنصران القيمةَ الذاتية المضاعفة $2$)؛ ولم يتعلق بالاختيار $e_2'$ إلا عنصر الزاوية، ويستطيع تغيير سلّم $e_2'$ أن يجعله أي قيمة غير معدومة — فالعدد “$1$” العنيد ظلّ الجزء العديم القوى الذي سيعزله دنفورد.

مثال 3.4 (كثير الحدود $\chi$ نفسه، وهندستان مختلفتان)

المصفوفتان

تشتركان في كثير الحدود المميز $(X - 2)^2$، وفي الأثر، وفي المحدد، وفي الطيف — ومع ذلك فهما غير متشابهتين: فبعد $E_2$ في الأولى $2$ (أي التضاعف الهندسي $2$)، وفي الثانية $1$. فكثير الحدود المميز لا يرى إلا التضاعفات الجبرية؛ وأبعاد الفضاءات الذاتية هي اللامتغيّر الأدقّ، وكثير الحدود الأدنى هو الحَكَم ($X - 2$ في مقابل $(X - 2)^2$). والعبرة في كل مناقشات قابلية التقطير: يضع $\chi$ قائمةً بالمرشحين، لكن النوى هي التي تُدلي بالأصوات.