Wat is Diagonaliseerbaar, trigonaliseerbaar?

Voorbeeld 3.8 (Diagonalisatie aan het werk)

$A = I + J = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2\end{smallmatrix}\right)$, met $J$ de matrix vol enen: uit $\operatorname{Sp}(J) = \{3, 0\}$ (Voorbeeld 2.19) volgt $\operatorname{Sp}(A) = \{4, 1\}$, met eigenruimten $\R(1,1,1)$ en het vlak $\{x + y + z = 0\}$: dimensies $1 + 2 = 3$, dus diagonaliseerbaar (Stelling 3.6 (2)). Machten zonder ook maar één basisovergangsmatrix: met $\Pi = J/3$ de projector op $\R(1,1,1)$ geldt

(Controle voor $k = 1$: $\frac{4-1}3 J + I = A$.) Het inzicht om te onthouden: zodra de eigenruimten zichtbaar zijn, berekenen spectrale projectoren machten sneller dan $PDP^{-1}$ ooit zal doen — en de formule toont de dynamica: $A^k$ groeit als $4^k$ langs $(1,1,1)$ en blijft op het orthogonale vlak staan waar het staat.

Voorbeeld 3.10 (Met de hand trigonaliseren)

$B = \begin{pmatrix}3 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$: hier is $\chi_B = X^2 - 4X + 4 = (X - 2)^2$, en $\ker(B - 2I) = \ker\left(\begin{smallmatrix}1 & -1\\ 1 & -1\end{smallmatrix}\right)$ is de rechte opgespannen door $e_1' = (1, 1)$: één eigenwaarde, een eendimensionale eigenruimte — niet diagonaliseerbaar, maar wel trigonaliseerbaar (Stelling 3.9). Vul de basis aan met $e_2' = (1, 0)$ en reken:

zodat de matrix in de basis $(e_1', e_2')$ gelijk is aan $T = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{smallmatrix}\right)$. Het inzicht om te onthouden: de diagonaal van $T$ lag vast (beide elementen moeten de dubbele eigenwaarde $2$ zijn); alleen het hoekelement hing van de keuze van $e_2'$ af, en door $e_2'$ te herschalen kan het elke waarde ongelijk aan nul krijgen — de hardnekkige “$1$” is de schaduw van het nilpotente deel dat Dunford zal isoleren.

Voorbeeld 3.4 (Dezelfde $\chi$, andere meetkunde)

De matrices

hebben dezelfde karakteristieke veelterm $(X - 2)^2$, hetzelfde spoor, dezelfde determinant en hetzelfde spectrum — en toch zijn zij niet gelijkvormig: bij de eerste heeft $E_2$ dimensie $2$ (meetkundige multipliciteit $2$), bij de tweede dimensie $1$. De karakteristieke veelterm ziet alleen de algebraïsche multipliciteiten; de dimensies van de eigenruimten zijn de fijnere invariant, en de minimale veelterm beslist ($X - 2$ tegenover $(X - 2)^2$). Moraal voor elke bespreking van diagonaliseerbaarheid: $\chi$ stelt de kandidatenlijst op, maar de kernen brengen de stemmen uit.