Apa itu polinomial minimal?

Contoh 3.13 (Polinomial minimal yang dicari dengan tangan)

Polinomial minimal dihitung dengan menguji derajat berturut-turut. Untuk matriks $J \in \mathcal{M}_3(\R)$ yang semua unsurnya satu: $J \neq \lambda I$ (jadi derajat $1$ tersingkir), dan $J^2 = 3J$, sehingga

derajatnya $2$, terurai lengkap, berakar sederhana — jadi $J$ dapat didiagonalkan dengan spektrum $\{0, 3\}$ (Akibat 3.17 di bawah), yang menegaskan Contoh 2.19 tanpa satu pun determinan. Untuk matriks penukar $A$ pada Contoh 3.15: dari $A \neq \pm I$ dan $A^2 = I$ diperoleh $\mu_A = X^2 - 1$. Pada kedua kasus polanya sama: tebaklah kesamaan berderajat rendah dari strukturnya (rank satu memaksa $J^2 = (\operatorname{tr}J)\,J$; sebuah involusi memaksa $A^2 = I$), lalu periksa bahwa tak ada pembagi sejatinya yang menganihilasi. Polinomial minimal biasanya ditemukan, bukan dihitung dari $\chi$.

Contoh 3.15 (Lema kernel dengan proyektor yang gamblang)

Misalkan $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (yang menukar dua koordinat pertama). Maka $A^2 = I$: polinomial $X^2 - 1 = (X - 1)(X + 1)$ menganihilasi $A$, faktornya saling prima, dan Bézout-nya gamblang:

Dengan mengikuti bukti Teorema 3.14, proyeksi pada $\ker(A - I)$ dan $\ker(A + I)$ adalah polinomial dalam $A$ berikut:

Periksa: $\pi_+ + \pi_- = I$, $\pi_+\pi_- = 0$, $\pi_\pm^2 = \pi_\pm$, dan petanya adalah bidang $\{x = y\}$ (vektor setangkup, bernilai eigen $1$) dan garis $\R(1, -1, 0)$ (antisetangkup, bernilai eigen $-1$). Lema kernel bukan sekadar pernyataan keberadaan: koefisien Bézout adalah rumus proyektornya.

Contoh 3.20 (Minimal lawan karakteristik)

Untuk $D = \operatorname{diag}(2, 2, 3)$: $\chi_D = (X - 2)^2(X - 3)$ tetapi $\mu_D = (X - 2)(X - 3)$, sebab $(D - 2I)(D - 3I) = 0$ (periksa pada basis kanoniknya) sementara tak satu pun faktornya sendiri menolkan $D$. Untuk blok geser $N = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right) \oplus (3)$, yakni $N' = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{smallmatrix}\right)$: di sini $\chi_{N'} = X^2(X - 3)$ dan $\mu_{N'} = X^2(X - 3)$ — akar gandanya sungguh diperlukan karena $N'$ tidak dapat didiagonalkan di sisi $\ker$-nya ($N'e_2 = e_1 \neq 0$). Pedoman praktis: $\mu$ dan $\chi$ berakar sama (Proposisi 3.12); multiplisitas pada $\mu$ menakar besarnya blok nilpoten terbesar, sedangkan yang pada $\chi$ menakar dimensi total subruang karakteristiknya.