¿Qué es Diagonalizable, trigonalizable?

Ejemplo 3.8 (La diagonalización puesta a trabajar)

$A = I + J = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2\end{smallmatrix}\right)$, con $J$ la matriz de unos: de $\operatorname{Sp}(J) = \{3, 0\}$ (Ejemplo 2.19) se sigue $\operatorname{Sp}(A) = \{4, 1\}$, con subespacios propios $\R(1,1,1)$ y el plano $\{x + y + z = 0\}$: dimensiones $1 + 2 = 3$, luego diagonalizable (Teorema 3.6 (2)). Potencias sin ninguna matriz de cambio de base: con $\Pi = J/3$ el proyector sobre $\R(1,1,1)$,

(Comprobación con $k = 1$: $\frac{4-1}3 J + I = A$.) La moraleja: cuando los subespacios propios son visibles, los proyectores espectrales calculan potencias más deprisa de lo que jamás lo hará $PDP^{-1}$, y además la fórmula muestra la dinámica: $A^k$ crece como $4^k$ a lo largo de $(1,1,1)$ y se queda quieto en el plano ortogonal.

Ejemplo 3.10 (Trigonalizando a mano)

$B = \begin{pmatrix}3 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$: $\chi_B = X^2 - 4X + 4 = (X - 2)^2$, y $\ker(B - 2I) = \ker\left(\begin{smallmatrix}1 & -1\\ 1 & -1\end{smallmatrix}\right)$ es la recta generada por $e_1' = (1, 1)$: un solo valor propio y un subespacio propio de dimensión uno; no es diagonalizable, pero sí trigonalizable (Teorema 3.9). Completemos la base con $e_2' = (1, 0)$ y calculemos:

de modo que en la base $(e_1', e_2')$ la matriz es $T = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{smallmatrix}\right)$. La moraleja: la diagonal de $T$ estaba forzada (ambas entradas han de ser el valor propio doble $2$); solo la entrada de la esquina dependía de la elección de $e_2'$, y reescalar $e_2'$ permite darle cualquier valor no nulo. Ese “$1$” que se resiste es la sombra de la parte nilpotente que Dunford aislará.

Ejemplo 3.4 (Mismo $\chi$, geometría distinta)

Las matrices

comparten el polinomio característico $(X - 2)^2$, la traza, el determinante y el espectro, y sin embargo no son semejantes: la primera tiene $E_2$ de dimensión $2$ (multiplicidad geométrica $2$) y la segunda de dimensión $1$. El polinomio característico solo ve las multiplicidades algebraicas; las dimensiones de los subespacios propios son el invariante más fino, y el polinomio mínimo es quien arbitra ($X - 2$ frente a $(X - 2)^2$). Moraleja para toda discusión sobre diagonalizabilidad: $\chi$ preselecciona a los candidatos, pero quienes votan son los núcleos.