Apa itu kekonvergenan normal?

Contoh 10.10 (Satu deret, tiga vonis)

Ambil $u_n(x) = \frac{x^n}{n}$ pada $\intco{0}{1}$. Titik demi titik: ia konvergen untuk setiap $x \in \intco01$ (lewat pembandingan dengan deret geometri). Normal pada $\intcc{0}{a}$ dengan $a < 1$: sebab $\norm{u_n}_{\infty,\intcc0a} = \frac{a^n}{n}$, yang terjumlahkan. Tidak normal pada $\intco{0}{1}$: sebab $\norm{u_n}_{\infty,\intco01} = \frac1n$, dan $\sum\frac1n$ divergen. Bahkan tidak seragam pada $\intco{0}{1}$: sebab sisanya membandel di dekat $1$,

jadi $\sup_{\intco01}\abs{R_N} \geq \frac12$ untuk setiap $N$. Pelajaran penutupnya: keempat vonis itu hidup rukun — sebab jumlahnya $-\ln(1-x)$ kontinu pada $\intco{0}{1}$ karena kekontinuan hanya memerlukan keseragaman di dekat tiap titik, yakni pada ruas $\intcc0a$; sedangkan meledak di tepinya adalah hak jumlah itu sendiri.

Contoh 10.13 (Fungsi $\zeta$ Riemann)

Deret $\zeta(s) = \sum_{n\geq1} n^{-s}$ konvergen normal pada tiap setengah-garis $\intco{a}{+\infty}$ dengan $a > 1$ (sebab $\norm{n^{-s}}_\infty = n^{-a}$, yang terjumlahkan): jadi $\zeta$ kontinu pada $\intoo{1}{+\infty}$; lalu setelah diturunkan suku demi suku (sebab deret turunannya $\sum -\ln n\; n^{-s}$ juga konvergen normal pada $\intco{a}{\infty}$), $\zeta$ berkelas $C^1$ — dan, setelah diiterasikan, $C^\infty$ — dengan $\zeta'(s) = -\sum \frac{\ln n}{n^s}$. Perhatikan disiplinnya: kekonvergenan normalnya diperiksa pada sub-setengah-garis, tak pernah pada $\intoo{1}{\infty}$ yang terbuka, tempat ia gagal.

Contoh 10.14 (Sebuah deret logaritmik, dikerjakan sampai tuntas)

Misalkan $F(x) = \sum_{n\geq1} \frac{\eu^{-nx}}{n}$ pada $\intoo{0}{\infty}$. Tiap sukunya terbatas pada $\intco{\delta}\infty$ oleh $\frac{\eu^{-n\delta}}{n} \leq \eu^{-n\delta}$, yakni deret geometri yang konvergen: jadi kekonvergenannya normal pada tiap $\intco\delta\infty$, sehingga $F$ kontinu pada $\intoo{0}{\infty}$. Deret turunannya $\sum -\eu^{-nx}$ juga konvergen normal pada $\intco\delta\infty$ (sebab $\norm{\eu^{-nx}}_{\infty,\intco\delta\infty} = \eu^{-n\delta}$), jadi $F$ berkelas $C^1$ dengan turunan yang geometri:

Setelah diiterasikan, $F$ berkelas $C^\infty$. Dengan mengintegralkan $F'$ (sebab baik $F$ maupun $x \mapsto -\ln(1 - \eu^{-x})$ bernilai nol di $+\infty$ dan punya turunan yang sama pada $\intoo0\infty$):

yakni deret logaritmik di $t = \eu^{-x}$. Pelajaran penutupnya: ketika $x \to 0^+$, $F(x) = -\ln(x + O(x^2)) = \ln\frac1x + O(x)$ — jadi deretnya divergen secara logaritmik di perbatasannya, persis seperti deret harmonik yang menjadi wujudnya di $x = 0$; dan kekonvergenan normal pada $\intco\delta\infty$ tetapi tidak pada $\intoo0\infty$ adalah gejalanya.