Apa itu fungsi tangga? — Matematika

বইগুলো এখনো বাংলা ভাষায় পাওয়া যায় না — Bahasa Indonesia সংস্করণ দেখানো হচ্ছে।

Definisi 15.1 Matematika Universitas — Tahun 1 · অধ্যায় 15 — Pengintegralan pada Sebuah Ruas

Fungsi $\varphi \colon \intcc{a}{b} \to \R$ disebut fungsi tangga bila ada partisi $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ sedemikian sehingga $\varphi$ konstan, yang sama dengan $c_i$ , pada setiap selang terbuka $\intoo{x_{i-1}}{x_i}$ (adapun nilainya di simpulnya tak dibatasi). Adapun integralnya adalah

\int_a^b \varphi = \sum_{i=1}^{n} c_i\,(x_i - x_{i-1}),

yang tak bergantung pada partisi yang dipilih (haluskanlah dua partisi lewat partisi bersamanya: karena kedua ruasnya tak berubah oleh penghalusan).

উদাহরণ

Contoh 15.5 (Kontinu sepotong-sepotong, tanpa drama)

Fungsi lantai pada $\intcc{0}{3}$ merupakan fungsi tangga yang menyamar: karena dengan memecahnya di lompatannya,

\int_0^3 \lfloor t \rfloor\,\dd t = \int_0^1 0 + \int_1^2 1 + \int_2^3 2 = 0 + 1 + 2 = 3 ,

dan nilainya di titik lompatannya $1, 2$ tak relevan: karena mengubah sebuah fungsi di titik yang berhingga banyak tak mengubah integralnya (sebab fungsi tangga pengapitnya tak terpengaruh). Inilah seluruh isi perluasan “kontinu sepotong-sepotong” itu: potonglah di titik ketakkontinuannya yang berhingga banyak, integralkanlah setiap keping yang kontinu, lalu jumlahkan — jadi Chasles sebagai definisi.

Contoh 15.6 (Definisinya menghitung, sekali)

Misalkan $f(x) = x$ pada $\intcc{0}{1}$ lalu potonglah menjadi $n$ keping yang sama. Adapun fungsi tangga terbaik yang konstan pada kepingnya adalah $\varphi = \frac{k-1}{n}$ dan $\psi = \frac kn$ pada keping ke- $k$ , dengan

\int_0^1 \varphi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{n}\cdot\frac1n = \frac{n-1}{2n}, \qquad \int_0^1 \psi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}\cdot\frac1n = \frac{n+1}{2n} .

Setiap integral bawahnya $\leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq$ setiap yang atasnya, sehingga $\frac{n-1}{2n} \leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq \frac{n+1}{2n}$ untuk setiap $n$ : jadi keduanya terapit menuju $\frac12$ , dan $\int_0^1 x\,\dd x = \frac12$ langsung dari definisinya. Inti gagasan penutupnya: bahwa inilah pertama dan terakhir kalinya kita mengintegralkan dari definisinya — karena teorema fundamental di bawah mengganti semua perhitungan semacam itu dengan satu pencarian antiturunan, dan itulah seluruh inti ekonomi bab ini.

প্রসঙ্গসহ পড়ো →

উদাহরণ

সম্পর্কিত পরিভাষা-শব্দ