fungsi terintegralkan কী?

Contoh 10.13

Fungsi $\mathbf 1_\Q$ tak kontinu di mana pun: jadi tak terintegralkan Riemann — tetapi trivial bagi Lebesgue: $\int\mathbf 1_\Q\,\dd\lambda = \lambda(\Q) = 0$. Fungsi Thomae (yakni $\frac1q$ di bilangan rasional $\frac pq$ dan $0$ selainnya) kontinu tepat di bilangan irasional: sehingga terintegralkan Riemann dengan integral $0$. Dan integral Riemann tak wajar merupakan gagasan yang berbeda: $\int_0^\infty\frac{\sin x}x\,\dd x$ konvergen sebagai limit $\int_0^A$ (dan soal akhir pekan menghitungnya $= \frac\pi2$), padahal $\frac{\sin x}x \notin L^1(\intoo0{+\infty})$: sebab integral mutlaknya divergen seperti deret harmonik (Latihan 10.6). Jadi teori Lebesgue menukar kekonvergenan bersyarat dengan teorema limit yang tegar.

Contoh 10.16 (Fungsi Gamma)

Untuk $t > 0$ misalkan

Integralnya konvergen: sebab di dekat $0$, $x^{t-1}$ terintegralkan (karena $t > 0$); sedangkan di tak hingga, $x^{t-1}\eu^{-x} \leq C\eu^{-x/2}$. Pengintegralan parsial (pada $[\varepsilon, A]$, lalu limitnya lewat kekonvergenan monoton) memberikan persamaan fungsional $\Gamma(t + 1) = t\,\Gamma(t)$, sehingga $\Gamma(n+1) = n!$: yakni faktorial yang terinterpolasi. Pada setiap $\intcc ab \subseteq \intoo0{+\infty}$, $\partial_t\bigl(x^{t-1}\eu^{-x}\bigr) = \ln x\cdot x^{t-1}\eu^{-x}$ terdominasi oleh $\abs{\ln x}(x^{a-1} + x^{b-1})\eu^{-x}$ yang terintegralkan: sehingga $\Gamma$ bersifat $\mathcal C^1$, dan lewat induksi $\mathcal C^\infty$, dengan $\Gamma^{(k)}(t) = \int_0^\infty(\ln x)^kx^{t-1}\eu^{-x}\dd x$. Sedangkan nilai $\Gamma(\frac12) = \sqrt\pi$ merupakan integral Gauss yang menyamar (Soal 10.1).