Qu'est-ce que « Groupe » ?

Exemple 7.4

$(\Z, +)$, $(\Q, +)$, $(\R, +)$, $(\C, +)$ ; $(\Q^*, \times)$, $(\R^*, \times)$, $(\C^*, \times)$, $(\mathbb{U}_n, \times)$ (racines de l’unité, Définition 3.17) ; l’ensemble $\mathfrak{S}(E)$ des bijections d’un ensemble $E$ sur lui-même, muni de la composition — le groupe symétrique de $E$, non abélien dès que $\abs E \geq 3$. Ne sont pas des groupes : $(\N, +)$ (pas d’inverses), $(\Z, \times)$ (seuls $\pm 1$ sont inversibles).

Exemple 7.6 (Les symétries d’un rectangle)

Un rectangle (non carré) admet exactement quatre isométries de lui-même sur lui-même : l’identité $e$, la symétrie d’axe horizontal $h$, la symétrie d’axe vertical $v$, et le demi-tour $r$ autour du centre. La composition fait de cet ensemble à quatre éléments un groupe : chaque élément est son propre inverse ($h^2 = v^2 = r^2 = e$), et le produit de deux éléments distincts autres que le neutre est le troisième ($hv = vh = r$ : composer les deux symétries axiales donne le demi-tour). La table est symétrique, donc le groupe est abélien — et pourtant ce n’est pas le même groupe que celui des rotations $\mathbb U_4$ de l’Exemple 7.15 : là, $\iu$ est d’ordre $4$, tandis qu’ici tout élément est d’ordre $\leq 2$. Deux groupes de même taille peuvent donc avoir des structures multiplicatives véritablement différentes — la figure ci-dessous affiche les deux tables côte à côte. Ce groupe à quatre éléments réapparaîtra sous la forme $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$, et l’Exercice 7.7 explique pourquoi tout groupe dont tous les carrés sont triviaux est, comme celui-ci, nécessairement abélien.

Exemple 7.13 (Le morphisme signe)

L’application $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ qui envoie $x$ sur son signe est un morphisme : le signe d’un produit est le produit des signes. Son noyau est $\intoo0{+\infty}$ (un sous-groupe, comme le promet Définition 7.10), son image est $\{\pm1\}$ tout entier : surjectif, massivement non injectif. Deux leçons générales en miniature. D’abord, un morphisme peut écraser de l’information : $s$ ne retient de $x$ qu’un seul bit, et c’est là sa vertu — les raisonnements de signe sont exactement les calculs qui se factorisent par $s$. Ensuite, les morphismes à valeurs dans $\{\pm1\}$ sont les « invariants » les plus simples : la signature des permutations, construite dans le devoir maison de ce chapitre, est le même phénomène sur le groupe $\mathfrak S_n$, et tous les raisonnements de parité qu’elle alimente passent par un tel morphisme à deux valeurs.