Apa itu Akar satuan? — Matematika

Definisi 28.14 Matematika Sekolah Menengah Atas · Bab 28 — Bilangan Kompleks

Untuk $n \geq 1$ , yang disebut akar satuan ke- $n$ adalah penyelesaian $z^n = 1$ .

Akar satuan kelima, = 2 π/5: yaitu titik sudut segi lima beraturan yang termuat dalam lingkaran satuan (). — Akar satuan kelima, $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ : yaitu titik sudut segi lima beraturan yang termuat dalam lingkaran satuan (Latihan 28.10).

Definisi 3.17 Matematika Universitas — Tahun 1 · Bab 3 — Bilangan Kompleks

Sebuah akar satuan ke- $n$ adalah penyelesaian $z^n = 1$ :

\mathbb{U}_n = \bigl\{\, \omega^k : k = 0, \dots, n-1 \,\bigr\}, \qquad \omega = \eu^{2\iu\pi/n}.

Mereka membentuk grup terhadap perkalian (Bab 7) dan duduk pada titik sudut segi- $n$ beraturan yang terlukis di dalam lingkaran satuan.

Akar satuan kelima, = 2 π/5: sebuah segi lima beraturan pada lingkaran satuan. — Akar satuan kelima, $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ : sebuah segi lima beraturan pada lingkaran satuan.

Contoh

Contoh 3.20 (Akar kuadrat dalam bentuk aljabar)

Untuk menyelesaikan $z^2 = 3 + 4\iu$ tanpa trigonometri, tulis $z = x + \iu y$ :

x^2 - y^2 = 3, \qquad 2xy = 4, \qquad x^2 + y^2 = \abs{3 + 4\iu} = 5 .

Menjumlahkan yang pertama dan yang terakhir: $x^2 = 4$ , jadi $x = \pm 2$ , lalu $y = 2/x = \pm 1$ dengan pasangan tanda yang sama ( $xy = 2 > 0$ ): $z = \pm(2 + \iu)$ . Digabung dengan rumus biasa, ini menyelesaikan setiap persamaan kuadrat berkoefisien kompleks (Latihan 3.7).

Contoh 3.16 (Ruas kanan yang tak real)

Selesaikan $z^4 = -8 + 8\iu\sqrt3$ . Bentuk eksponensial ruas kanannya: modulusnya $\sqrt{64 + 192} = 16$ , argumennya $\theta$ dengan $\cos\theta = -\frac12$ , $\sin\theta = \frac{\sqrt3}2$ , yakni $\theta = \frac{2\pi}3$ . Keempat akarnya adalah

z_k = 2\,\eu^{\iu(\frac\pi6 + \frac{k\pi}2)}, \quad k = 0, 1, 2, 3 : \qquad z_0 = \sqrt3 + \iu,\quad z_1 = \iu z_0 = -1 + \iu\sqrt3,

z_2 = -z_0 = -\sqrt3 - \iu,\qquad z_3 = -\iu z_0 = 1 - \iu\sqrt3 .

(Periksa: $z_0^2 = 2 + 2\iu\sqrt3$ , sehingga $z_0^4 = (2 + 2\iu\sqrt3)^2 = 4 - 12 + 8\iu\sqrt3 = -8 + 8\iu\sqrt3$ .) Begitu satu akar sudah ditemukan, ketiga akar lainnya datang cuma-cuma: semuanya rotasi berturut-turut sebesar $\frac\pi2$ , yakni hasil kalinya dengan akar satuan keempat — struktur umum di balik Teorema 3.14, yang layak dimanfaatkan sebelum menghitung ulang setiap akar dari nol. Tak ada simetri konjugat kali ini: ruas kanannya tidak real.

Baca dalam konteks →