Wat is Groep?

Voorbeeld 7.4

$(\Z, +)$, $(\Q, +)$, $(\R, +)$, $(\C, +)$; $(\Q^*, \times)$, $(\R^*, \times)$, $(\C^*, \times)$, $(\mathbb{U}_n, \times)$ (de eenheidswortels, Definitie 3.17); de verzameling $\mathfrak{S}(E)$ van de bijecties van een verzameling $E$ op zichzelf, onder samenstelling — de symmetrische groep van $E$, niet abels zodra $\abs E \geq 3$. Geen groepen: $(\N, +)$ (geen inversen), $(\Z, \times)$ (alleen $\pm 1$ is inverteerbaar).

Voorbeeld 7.6 (De symmetrieën van een rechthoek)

Een rechthoek die geen vierkant is, laat precies vier isometrieën op zichzelf toe: de identiteit $e$, de spiegeling $h$ in de horizontale as, de spiegeling $v$ in de verticale as, en de halve draai $r$ om het middelpunt. Samenstelling maakt van die verzameling met vier elementen een groep: elk element is zijn eigen inverse ($h^2 = v^2 = r^2 = e$), en het product van twee verschillende elementen ongelijk aan $e$ is het derde ($hv = vh = r$: in beide assen spiegelen is de halve draai). De volledige tabel is symmetrisch, dus de groep is abels — en toch is het niet dezelfde groep als de draaiingen $\mathbb U_4$ van Voorbeeld 7.15: daar heeft $\iu$ orde $4$, terwijl hier elk element orde $\leq 2$ heeft. Twee groepen van dezelfde grootte kunnen dus werkelijk verschillende vermenigvuldigingsstructuren hebben — de figuur hieronder zet beide tabellen naast elkaar. Deze groep met vier elementen keert terug als $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$, en Oefening 7.7 legt uit waarom elke groep waarin alle kwadraten triviaal zijn, net als deze, abels moet zijn.

Voorbeeld 7.13 (Het tekenmorfisme)

De afbeelding $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ die $x$ naar zijn teken stuurt is een morfisme: het teken van een product is het product van de tekens. Haar kern is $\intoo0{+\infty}$ (een deelgroep, zoals Definitie 7.10 belooft), haar beeld heel $\{\pm1\}$: surjectief, en massaal niet-injectief. Twee algemene lessen in het klein. Ten eerste kan een morfisme informatie vermorzelen: $s$ onthoudt van $x$ niets dan één bit, en dat is juist haar deugd — argumenten met tekens zijn precies de berekeningen die door $s$ heen factoriseren. Ten tweede zijn morfismen naar $\{\pm1\}$ de eenvoudigste “invarianten”: de signatuur van permutaties, opgebouwd in de weekendopgave van dit hoofdstuk, is hetzelfde verschijnsel op de groep $\mathfrak S_n$, en alle pariteitsargumenten die zij aandrijft dalen door zo’n tweewaardig morfisme af.