Apa itu Subruang? — Matematika

Definisi 18.3 Matematika Universitas — Tahun 1 · Bab 18 — Ruang Vektor

Himpunan $F \subseteq E$ disebut subruang bila $0_E \in F$ dan $F$ stabil terhadap penjumlahan dan perkalian skalar — setara dengan itu:

F \neq \emptyset \qquad\text{dan}\qquad \forall x, y \in F,\ \forall \lambda \in K,\quad x + \lambda y \in F .

Sebuah subruang sendirinya merupakan ruang vektor. Adapun sebarang irisan subruang merupakan subruang; sedangkan gabungannya hampir tak pernah demikian (dengan bukti yang sama seperti Latihan 7.6).

Contoh

Contoh 18.4

Di dalam $\mathcal{F}(\R, \R)$ : fungsi yang kontinu, fungsi yang dapat diturunkan, polinomial berderajat $\leq n$ (yang ditulis $K_n[X]$ di dalam $K[X]$ ), dan penyelesaian persamaan diferensial linear yang homogen (Teorema 5.10 mengatakan persis itu). Adapun yang bukan contoh: $\{f : f(0) = 1\}$ (karena tanpa nol); dan berderajat tepat $n$ (karena tak stabil terhadap penjumlahan).

Contoh 18.5 (Subruang atau bukan: empat vonis, beserta argumennya)

Di dalam ruang barisan real:

$\{u : u \text{ terbatas}\}$ memang subruang: karena $0$ terbatas, dan jika $\abs{u_n} \leq M$ , $\abs{v_n} \leq M'$ , maka $\abs{u_n + \lambda v_n} \leq M + \abs\lambda M'$ .
$\{u : u_n \to 1\}$ bukan: karena barisan nolnya hilang (dan jumlah dua anggotanya menuju $2$ ).
$\{u : u \text{ monoton}\}$ bukan: karena $u_n = n$ dan $v_n = -n + (-1)^n$ monoton, sedangkan jumlahnya $(-1)^n$ tidak; jadi kestabilan terhadap penjumlahanlah aksioma yang gagal, meskipun himpunannya memuat $0$ dan semua kelipatan skalar anggotanya.
$\{u : u_{n+1} = u_n^2\}$ bukan: karena ia memuat $0$ tetapi $2u$ kabur begitu $u$ menjadi anggota yang taknol (sebab $2u_{n+1} \neq (2u_n)^2$ pada umumnya) — jadi pengkuadratannya yang menjadi ketaklinearannya.

Adapun urutan kerjanya selalu sama: ujilah $0$ lebih dulu (karena paling murah), lalu kestabilannya — dan untuk membantahnya, satu pasang contoh penyangkal yang eksplisit mengalahkan keraguan sebanyak apa pun.

Contoh 18.12 (Sepasang pelengkap di dalam $K_n[X]$ )

Tetapkanlah $a \in K$ lalu tetapkan $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$ , $G = \operatorname{Vect}(1)$ (yaitu konstantanya). Maka $K_n[X] = F \oplus G$ . Memang $F \cap G$ terdiri atas konstanta yang lenyap di $a$ , yakni $\{0\}$ ; dan setiap $P$ terurai sebagai

P = \underbrace{\bigl(P - P(a)\bigr)}_{\in F} + \underbrace{P(a)}_{\in G} .

Penguraian ini pantas dihafalkan: karena mengurangkan nilainya di sebuah titik merupakan cara baku memproyeksikan ke “fungsi yang lenyap di $a$ ”. Perhatikanlah bahwa $F$ subruang yang besar sedangkan $G$ yang kecil; jadi sepasang pelengkap tak harus seimbang dalam arti apa pun.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait