Apa itu ruang Banach?

Contoh 5.20 (Norma operator pengintegralan)

Pada $\bigl(C(\intcc01), \norm\cdot_\infty\bigr)$, misalkan $T(f)(x) = \int_0^x f(t)\,\dd t$ (sebuah endomorfisma, sebab $T(f)$ kontinu). Jalankan Metode 5.9. Batas atasnya:

jadi $\vertiii T \leq 1$. Saksinya: $f \equiv 1$ memberi $T(f)(x) = x$ dan $\norm{T(f)}_\infty = 1 = \norm f_\infty$: jadi tercapai, dan $\vertiii T = 1$. Namun perhatikan $\vertiii{T^2} = \frac12 \neq \vertiii T^2$: memang $T^2(f)(x) = \int_0^x(x - t)f(t)\dd t$ punya $\abs{T^2(f)(x)} \leq \frac{x^2}2\norm f_\infty$, yang lagi-lagi tercapai di $f \equiv 1$; dan secara umum $\vertiii{T^n} = \frac1{n!}$ — sedangkan batas submultiplikatifnya $\vertiii T^n = 1$ meleset sejauh satu faktorial. Justru gejala inilah yang diubah siasat iterat pada soal akhir pekan Bab 4 menjadi keterselesaian global persamaan diferensial linear.

Contoh 5.22 (Eksponensial matriks, perkenalan pertama)

Eksponensial matriks: $\mathcal{M}_n(K)$ dengan norma submultiplikatif apa pun ($\vertiii{AB} \leq \vertiii A \vertiii B$) bersifat Banach (karena berdimensi hingga). Maka, untuk setiap $A$,

konvergen mutlak (sebab $\vertiii{A^k/k!} \leq \vertiii A^k /k!$, yang terjumlahkan): jadi ia terdefinisi dengan baik. Bab 16 memanfaatkannya secara sistematis.