Tentang GitHub Pelatih Masuk Mulai membaca

Matematika · Glosarium

Apa itu koefisien Fourier?

Dikenal juga sebagai: jumlah parsial Fourier

Definisi 14.1 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 14 — Deret Fourier

Adapun koefisien Fourier bagi ff adalah

cn(f)=12π∫−ππf(t) e−int  ⁣dt(n∈Z),c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu n t}\,\dd t \qquad (n \in \Z),

dan koefisien bentuk realnya an=cn+c−na_n = c_n + c_{-n}, bn=i(cn−c−n)b_n = \iu(c_n - c_{-n}), sehingga jumlah parsial Fourier berbunyi

SN(f)(t)=∑n=−NNcn(f) eint=a02+∑n=1N(ancos⁡nt+bnsin⁡nt).S_N(f)(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f)\,\eu^{\iu nt} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos nt + b_n \sin nt\bigr).

Pada C\mathcal{C}, definisikan hasil kali dalam Hermitian ⟨f,g⟩=12π∫−ππf‾ g\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\conj f\,g: maka eksponensial en(t)=einte_n(t) = \eu^{\iu nt} bersifat ortonormal (sebab ⟨em,en⟩=δmn\langle e_m, e_n\rangle = \delta_{mn} lewat perhitungan langsung), dan cn(f)=⟨en,f⟩c_n(f) = \langle e_n, f\rangle: jadi analisis Fourier adalah geometri Hermitian (Bab 13) dalam dimensi tak hingga.

Contoh

Contoh 14.3 (Hampiran terbaik, ditakar)

Seberapa baik polinomial trigonometri berderajat rendah menghampiri gigi gergaji f(t)=tf(t) = t (pada (−π, π)\intoo{-\pi}{\pi}) dalam rerata kuadratiknya? Menurut Proposisi 14.2, hampiran terbaik berderajat NN adalah SN(f)S_N(f), dengan galat kuadrat

∥f−SNf∥22=∥f∥22−∑∣n∣≤N∣cn∣2.\norm{f - S_Nf}_2^2 = \norm f_2^2 - \sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 .

Di sini ∥f∥22=12π∫−ππt2 ⁣dt=π23\norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}{3}, dan dari bn=2(−1)n+1nb_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} (Contoh 14.12) diperoleh ∣cn∣2+∣c−n∣2=bn22=2n2\abs{c_n}^2 + \abs{c_{-n}}^2 = \frac{b_n^2}{2} = \frac{2}{n^2}. Jadi

∥f−SNf∥22=π23−∑n=1N2n2: secara numerik 1.29, 0.79, 0.57, 0.44\norm{f - S_Nf}_2^2 = \frac{\pi^2}{3} - \sum_{n=1}^{N}\frac{2}{n^2} \qquad\text{: secara numerik } 1.29,\ 0.79,\ 0.57,\ 0.44

untuk N=1,2,3,4N = 1, 2, 3, 4 — yang menurun, tetapi lambat: sebab ekornya ∑n>N2n2∼2N\sum_{n>N}\frac2{n^2} \sim \frac2N dikendalikan oleh peluruhan 1n\frac1n yang lambat pada koefisiennya, dan itu sendiri tanda lompatannya (Latihan 14.6 yang dibaca terbalik). Pelajaran penutupnya: Parseval mengubah mutu hampiran menjadi ekor sebuah deret numerik — lalu meramalkan, sebelum sebuah gambar pun, bahwa lompatan membuat deret Fourier konvergen dengan enggan.

Baca dalam konteks →

Istilah terkait