फूरिये गुणांक क्या है? — गणित

परिभाषा 14.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 14 — फूरिये श्रेणियाँ

$f$ के फूरिये गुणांक

c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu n t}\,\dd t \qquad (n \in \Z),

हैं, तथा वास्तविक-रूप गुणांक $a_n = c_n + c_{-n}$ , $b_n = \iu(c_n - c_{-n})$ , जिससे फूरिये आंशिक योग

S_N(f)(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f)\,\eu^{\iu nt} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos nt + b_n \sin nt\bigr).

बनते हैं। $\mathcal{C}$ पर हर्मीशियन अंतर्गुणन $\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\conj f\,g$ परिभाषित कीजिए: तब चरघातांकी $e_n(t) = \eu^{\iu nt}$ प्रसामान्य लांबिक हैं ( $\langle e_m, e_n\rangle = \delta_{mn}$ , सीधा परिकलन), और $c_n(f) = \langle e_n, f\rangle$ : अर्थात् फूरिये विश्लेषण अनंत विमा में हर्मीशियन ज्यामिति (अध्याय 13) ही है।

उदाहरण

उदाहरण 14.3 (सर्वोत्तम सन्निकटन, मापा हुआ)

द्विघात माध्य के अर्थ में निम्न घात के त्रिकोणमितीय बहुपद आरे-दाँत $f(t) = t$ ( $\intoo{-\pi}{\pi}$ पर) का कितना अच्छा सन्निकटन करते हैं? प्रतिज्ञप्ति 14.2 के अनुसार घात $N$ का सर्वोत्तम सन्निकटन $S_N(f)$ ही है, और वर्ग-त्रुटि

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \norm f_2^2 - \sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 .

है। यहाँ $\norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}{3}$ , और $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ (उदाहरण 14.12) से: $\abs{c_n}^2 + \abs{c_{-n}}^2 = \frac{b_n^2}{2} = \frac{2}{n^2}$ । अतः

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \frac{\pi^2}{3} - \sum_{n=1}^{N}\frac{2}{n^2} \qquad\text{: संख्यात्मक रूप से } 1.29,\ 0.79,\ 0.57,\ 0.44

$N = 1, 2, 3, 4$ के लिए — अर्थात् घटती हुई, पर धीरे-धीरे: पुच्छ $\sum_{n>N}\frac2{n^2} \sim \frac2N$ गुणांकों के धीमे $\frac1n$ क्षय से शासित है, और वह क्षय स्वयं उस उछाल का हस्ताक्षर है (अभ्यास 14.6 को उलटकर पढ़िए)। समापन दृष्टि: पारसेवाल सन्निकटन की गुणवत्ता को किसी संख्यात्मक श्रेणी की पुच्छ में बदल देती है — और किसी भी चित्र से पहले बता देती है कि उछाल फूरिये श्रेणियों को अनिच्छा से अभिसरित कराते हैं।

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उदाहरण

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