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Matemáticas · Glosario

¿Qué es coeficientes de Fourier?

También llamado: sumas parciales de Fourier

Definición 14.1 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 14 — Series de Fourier

Los coeficientes de Fourier de ff son

cn(f)=12π∫−ππf(t) e−int  ⁣dt(n∈Z),c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu n t}\,\dd t \qquad (n \in \Z),

y los coeficientes en forma real son an=cn+c−na_n = c_n + c_{-n}, bn=i(cn−c−n)b_n = \iu(c_n - c_{-n}), de modo que las sumas parciales de Fourier son

SN(f)(t)=∑n=−NNcn(f) eint=a02+∑n=1N(ancos⁡nt+bnsin⁡nt).S_N(f)(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f)\,\eu^{\iu nt} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos nt + b_n \sin nt\bigr).

Sobre C\mathcal{C} definimos el producto escalar hermítico ⟨f,g⟩=12π∫−ππf‾ g\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\conj f\,g: las exponenciales en(t)=einte_n(t) = \eu^{\iu nt} son ortonormales (⟨em,en⟩=δmn\langle e_m, e_n\rangle = \delta_{mn}, por cálculo directo) y cn(f)=⟨en,f⟩c_n(f) = \langle e_n, f\rangle: el análisis de Fourier es geometría hermítica (Capítulo 13) en dimensión infinita.

Ejemplos

Ejemplo 14.3 (La mejor aproximación, medida)

¿Con qué precisión aproximan los polinomios trigonométricos de grado bajo a la señal en diente de sierra f(t)=tf(t) = t (sobre (−π, π)\intoo{-\pi}{\pi}) en media cuadrática? Por la Proposición 14.2, la mejor aproximación de grado NN es SN(f)S_N(f), con error cuadrático

∥f−SNf∥22=∥f∥22−∑∣n∣≤N∣cn∣2.\norm{f - S_Nf}_2^2 = \norm f_2^2 - \sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 .

Aquí ∥f∥22=12π∫−ππt2 ⁣dt=π23\norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}{3}, y de bn=2(−1)n+1nb_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} (Ejemplo 14.12) resulta ∣cn∣2+∣c−n∣2=bn22=2n2\abs{c_n}^2 + \abs{c_{-n}}^2 = \frac{b_n^2}{2} = \frac{2}{n^2}. Por tanto,

∥f−SNf∥22=π23−∑n=1N2n2: numeˊricamente 1.29, 0.79, 0.57, 0.44\norm{f - S_Nf}_2^2 = \frac{\pi^2}{3} - \sum_{n=1}^{N}\frac{2}{n^2} \qquad\text{: numéricamente } 1.29,\ 0.79,\ 0.57,\ 0.44

para N=1,2,3,4N = 1, 2, 3, 4: decreciente, pero despacio; la cola ∑n>N2n2∼2N\sum_{n>N}\frac2{n^2} \sim \frac2N la gobierna el lento decaimiento 1n\frac1n de los coeficientes, que a su vez es la firma del salto (el Ejercicio 14.6 leído al revés). Moraleja: Parseval convierte la calidad de la aproximación en la cola de una serie numérica, y predice, antes de dibujar nada, que los saltos hacen que las series de Fourier converjan de mala gana.

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