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Matemáticas · Glosario

¿Qué es coeficientes de Fourier?

También llamado: sumas parciales de Fourier

Definición 14.1 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 14 — Series de Fourier

Los coeficientes de Fourier de $f$ son

c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu n t}\,\dd t \qquad (n \in \Z),

y los coeficientes en forma real son $a_n = c_n + c_{-n}$ , $b_n = \iu(c_n - c_{-n})$ , de modo que las sumas parciales de Fourier son

S_N(f)(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f)\,\eu^{\iu nt} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos nt + b_n \sin nt\bigr).

Sobre $\mathcal{C}$ definimos el producto escalar hermítico $\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\conj f\,g$ : las exponenciales $e_n(t) = \eu^{\iu nt}$ son ortonormales ( $\langle e_m, e_n\rangle = \delta_{mn}$ , por cálculo directo) y $c_n(f) = \langle e_n, f\rangle$ : el análisis de Fourier es geometría hermítica (Capítulo 13) en dimensión infinita.

Ejemplos

Ejemplo 14.3 (La mejor aproximación, medida)

¿Con qué precisión aproximan los polinomios trigonométricos de grado bajo a la señal en diente de sierra $f(t) = t$ (sobre $\intoo{-\pi}{\pi}$ ) en media cuadrática? Por la Proposición 14.2, la mejor aproximación de grado $N$ es $S_N(f)$ , con error cuadrático

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \norm f_2^2 - \sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 .

Aquí $\norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}{3}$ , y de $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ (Ejemplo 14.12) resulta $\abs{c_n}^2 + \abs{c_{-n}}^2 = \frac{b_n^2}{2} = \frac{2}{n^2}$ . Por tanto,

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \frac{\pi^2}{3} - \sum_{n=1}^{N}\frac{2}{n^2} \qquad\text{: numéricamente } 1.29,\ 0.79,\ 0.57,\ 0.44

para $N = 1, 2, 3, 4$ : decreciente, pero despacio; la cola $\sum_{n>N}\frac2{n^2} \sim \frac2N$ la gobierna el lento decaimiento $\frac1n$ de los coeficientes, que a su vez es la firma del salto (el Ejercicio 14.6 leído al revés). Moraleja: Parseval convierte la calidad de la aproximación en la cola de una serie numérica, y predice, antes de dibujar nada, que los saltos hacen que las series de Fourier converjan de mala gana.

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