Apa itu endomorfisma Hermitian?

Contoh 13.7 (Sebuah matriks anti-Hermitian, didiagonalkan)

$A = \begin{pmatrix} 0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix}$ memenuhi $A^\dagger = A^{\mathsf T} = -A$: jadi anti-Hermitian (sekaligus antisimetrik real — dan atas $\R$ ia sama sekali tak punya nilai eigen). Polinomial karakteristiknya $X^2 + 4$: jadi nilai eigennya $\pm2\iu$, yang imajiner murni, sebagaimana diramalkan Latihan 13.9 secara umum. Vektor eigennya: $(A - 2\iu I)v = 0$ memberi $v_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$, lalu $v_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ untuk $-2\iu$; dan keduanya ortogonal:

Jadi $A = U\operatorname{diag}(2\iu, -2\iu)\,U^\dagger$ dengan $U = (v_1\ v_2)$ yang uniter. Pelajaran penutupnya: $H = -\iu A = \begin{pmatrix} 0 & 2\iu\\ -2\iu & 0\end{pmatrix}$ bersifat Hermitian dengan spektrum real $\{\pm2\}$ dan vektor eigen yang sama — yakni bijeksi $u \mapsto \iu u$ antara endomorfisma Hermitian dan anti-Hermitian (Latihan 13.9), yang terlihat matriks demi matriks; sedangkan atas $\R$ matriks $A$ yang sama adalah perputaran-penskalaan tanpa vektor eigen sama sekali, dan hanya peralihan ke $\C$ yang menyingkap bentuk normalnya.

Contoh 13.9

$A = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix}$ bersifat Hermitian (sebab $A^\dagger = A$): nilai eigennya dari $\chi_A = X^2 - 1$ adalah $\pm 1$ (yang real, seperti dijanjikan), dengan vektor eigen ortonormal $\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)^{\mathsf T}$ dan $\frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)^{\mathsf T}$. (Para fisikawan mengenal $A$ sebagai matriks Pauli; dan kerealan spektrum Hermitianlah yang membuat besaran teramati kuantum dimodelkan oleh operator Hermitian.)

Contoh 13.10 (Sebuah matriks Hermitian definit positif, dikerjakan)

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix}$ bersifat Hermitian, sebab diagonalnya real dan entri luar diagonalnya saling sekawan. Polinomial karakteristiknya:

jadi spektrumnya $\{1, 4\}$, yang real dan positif — sehingga $A$ definit positif. Vektor eigennya: untuk $\lambda = 4$, sistem $(A - 4I)v = 0$ memberi $v_4 = (1 - \iu,\ 2)$ (periksa baris keduanya: $(1+\iu)(1-\iu) - 2 = 0$); sedangkan untuk $\lambda = 1$, $v_1 = (1 - \iu,\ -1)$. Keortogonalannya, dengan sekawannya pada slot pertama:

Setelah dinormalkan (dengan $\norm{v_4}^2 = 2 + 4 = 6$ dan $\norm{v_1}^2 = 2 + 1 = 3$) diperoleh $U = \bigl(\frac{v_4}{\sqrt6}\ \frac{v_1}{\sqrt3}\bigr)$ yang uniter dengan $A = U\operatorname{diag}(4,1)U^\dagger$. Pelajaran penutupnya: pembacaan Rayleighnya seketika — sebab pada bola satuan $\C^2$, besaran $\langle x, Ax\rangle$ berjangkau $\intcc{1}{4}$, yang tercapai di kedua vektor eigennya; dan inilah benih $n = 2$ bagi teori Courant–Fischer yang dibangun pada soal akhir pekan. Periksa sekilas bahwa bentuknya real di luar vektor eigennya juga: di $x = (1, \iu)$,

sebagaimana dijamin mekanisme bukti Proposisi 13.6 (yakni kesimetrikan-sekawan terhadap $A^\dagger = A$) bagi setiap $x$.