O que é coeficientes de Fourier? — Matemática

Definição 14.1 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 14 — Séries de Fourier

Os coeficientes de Fourier de $f$ são

c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu n t}\,\dd t \qquad (n \in \Z),

e os coeficientes na forma real $a_n = c_n + c_{-n}$ , $b_n = \iu(c_n - c_{-n})$ , de modo que as somas parciais de Fourier são

S_N(f)(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f)\,\eu^{\iu nt} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos nt + b_n \sin nt\bigr).

Em $\mathcal{C}$ , defina o produto interno hermitiano $\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\conj f\,g$ : as exponenciais $e_n(t) = \eu^{\iu nt}$ são ortonormais ( $\langle e_m, e_n\rangle = \delta_{mn}$ , cálculo direto), e $c_n(f) = \langle e_n, f\rangle$ : a análise de Fourier é geometria hermitiana (Capítulo 13) em dimensão infinita.

Exemplos

Exemplo 14.3 (Melhor aproximação, medida)

Quão bem os polinômios trigonométricos de grau baixo aproximam a dente de serra $f(t) = t$ (em $\intoo{-\pi}{\pi}$ ) na média quadrática? Pela Proposição 14.2, a melhor aproximação de grau $N$ é $S_N(f)$ , com erro quadrático

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \norm f_2^2 - \sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 .

Aqui $\norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}{3}$ e, de $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ (Exemplo 14.12): $\abs{c_n}^2 + \abs{c_{-n}}^2 = \frac{b_n^2}{2} = \frac{2}{n^2}$ . Logo

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \frac{\pi^2}{3} - \sum_{n=1}^{N}\frac{2}{n^2} \qquad\text{: numericamente } 1.29,\ 0.79,\ 0.57,\ 0.44

para $N = 1, 2, 3, 4$ — decrescente, mas devagar: a cauda $\sum_{n>N}\frac2{n^2} \sim \frac2N$ é governada pelo decaimento lento $\frac1n$ dos coeficientes, que é ele próprio a assinatura do salto (o Exercício 14.6 lido ao contrário). Lição final: Parseval transforma a qualidade da aproximação numa cauda de série numérica — e prevê, antes de qualquer figura, que saltos fazem as séries de Fourier convergirem a contragosto.

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Exemplos

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