Qu'est-ce que « coefficients de Fourier » ? — Mathématiques

Définition 14.1 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 14 — Séries de Fourier

Les coefficients de Fourier de $f$ sont

c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu n t}\,\dd t \qquad (n \in \Z),

et les coefficients sous forme réelle $a_n = c_n + c_{-n}$ , $b_n = \iu(c_n - c_{-n})$ , de sorte que les sommes partielles de Fourier sont

S_N(f)(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f)\,\eu^{\iu nt} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos nt + b_n \sin nt\bigr).

Sur $\mathcal{C}$ , on définit le produit scalaire hermitien $\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\conj f\,g$ : les exponentielles $e_n(t) = \eu^{\iu nt}$ sont orthonormées ( $\langle e_m, e_n\rangle = \delta_{mn}$ , calcul direct), et $c_n(f) = \langle e_n, f\rangle$ : l’analyse de Fourier est de la géométrie hermitienne (Chapitre 13) en dimension infinie.

Exemples

Exemple 14.3 (Meilleure approximation, mesurée)

Dans quelle mesure les polynômes trigonométriques de bas degré approchent-ils la dent de scie $f(t) = t$ (sur $\intoo{-\pi}{\pi}$ ) en moyenne quadratique ? D’après la Proposition 14.2, la meilleure approximation de degré $N$ est $S_N(f)$ , avec pour erreur quadratique

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \norm f_2^2 - \sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 .

Ici $\norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}{3}$ , et à partir de $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ (Exemple 14.12) : $\abs{c_n}^2 + \abs{c_{-n}}^2 = \frac{b_n^2}{2} = \frac{2}{n^2}$ . Donc

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \frac{\pi^2}{3} - \sum_{n=1}^{N}\frac{2}{n^2} \qquad\text{~: numériquement } 1.29,\ 0.79,\ 0.57,\ 0.44

pour $N = 1, 2, 3, 4$ — décroissante, mais lentement : le reste $\sum_{n>N}\frac2{n^2} \sim \frac2N$ est gouverné par la lente décroissance en $\frac1n$ des coefficients, elle-même la signature du saut (Exercice 14.6 lu à l’envers). Éclairage final : Parseval transforme la qualité d’approximation en un reste de série numérique — et prédit, avant tout dessin, que les sauts font converger les séries de Fourier à contrecœur.

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Exemples

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