Over GitHub Coach Inloggen Begin met lezen

Wiskunde · Begrippenlijst

Wat is Fouriercoëfficiënten?

Ook bekend als: Fourierpartiaalsommen

Definitie 14.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 14 — Fourierreeksen

De Fouriercoëfficiënten van ff zijn

cn(f)=12π∫−ππf(t) e−int  ⁣dt(n∈Z),c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu n t}\,\dd t \qquad (n \in \Z),

en de coëfficiënten in reële vorm zijn an=cn+c−na_n = c_n + c_{-n}, bn=i(cn−c−n)b_n = \iu(c_n - c_{-n}), zodat de Fourierpartiaalsommen gegeven worden door

SN(f)(t)=∑n=−NNcn(f) eint=a02+∑n=1N(ancos⁡nt+bnsin⁡nt).S_N(f)(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f)\,\eu^{\iu nt} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos nt + b_n \sin nt\bigr).

Definieer op C\mathcal{C} het hermitische inproduct ⟨f,g⟩=12π∫−ππf‾ g\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\conj f\,g: de exponentiëlen en(t)=einte_n(t) = \eu^{\iu nt} zijn orthonormaal (⟨em,en⟩=δmn\langle e_m, e_n\rangle = \delta_{mn}, rechtstreekse berekening), en cn(f)=⟨en,f⟩c_n(f) = \langle e_n, f\rangle: Fourieranalyse is hermitische meetkunde (Hoofdstuk 13) in oneindige dimensie.

Voorbeelden

Voorbeeld 14.3 (Beste benadering, gemeten)

Hoe goed benaderen trigonometrische veeltermen van lage graad de zaagtand f(t)=tf(t) = t (op (−π, π)\intoo{-\pi}{\pi}) in kwadratisch gemiddelde? Volgens Propositie 14.2 is de beste benadering van graad NN juist SN(f)S_N(f), met kwadratische fout

∥f−SNf∥22=∥f∥22−∑∣n∣≤N∣cn∣2.\norm{f - S_Nf}_2^2 = \norm f_2^2 - \sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 .

Hier is ∥f∥22=12π∫−ππt2 ⁣dt=π23\norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}{3}, en uit bn=2(−1)n+1nb_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} (Voorbeeld 14.12) volgt ∣cn∣2+∣c−n∣2=bn22=2n2\abs{c_n}^2 + \abs{c_{-n}}^2 = \frac{b_n^2}{2} = \frac{2}{n^2}. Dus

∥f−SNf∥22=π23−∑n=1N2n2: numeriek 1.29, 0.79, 0.57, 0.44\norm{f - S_Nf}_2^2 = \frac{\pi^2}{3} - \sum_{n=1}^{N}\frac{2}{n^2} \qquad\text{: numeriek } 1.29,\ 0.79,\ 0.57,\ 0.44

voor N=1,2,3,4N = 1, 2, 3, 4 — dalend, maar traag: de staart ∑n>N2n2∼2N\sum_{n>N}\frac2{n^2} \sim \frac2N wordt bestuurd door het trage verval 1n\frac1n van de coëfficiënten, dat zelf het handschrift van de sprong is (Oefening 14.6 achterstevoren gelezen). Het inzicht om te onthouden: Parseval maakt van de kwaliteit van een benadering de staart van een numerieke reeks — en voorspelt, nog vóór enige tekening, dat sprongen Fourierreeksen met tegenzin doen convergeren.

Lees in het hoofdstuk →

Verwante begrippen