Operasi himpunan কী?

Contoh 1.17 (Membiasakan diri dengan himpunan kuasa)

Untuk $E = \{a, b\}$:

empat unsur — dan perhatikan disiplin tipenya: $a \in E$ tetapi $\{a\} \in \mathcal P(E)$; pernyataan $a \in \mathcal P(E)$ maupun $\{a\} \subseteq \mathcal P(E)$ keduanya salah sebagaimana tertulis (yang kedua menuntut $a$ menjadi himpunan bagian dari $E$). Diiterasikan dari ketiadaan: $\mathcal P(\emptyset) = \{\emptyset\}$ mempunyai satu unsur, $\mathcal P(\mathcal P(\emptyset)) = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$ mempunyai dua, berikutnya empat — himpunan yang anggotanya himpunan tetaplah himpunan biasa, dan Bab 2 akan membenarkan pola penggandaan itu: $\abs{\mathcal P(E)} = 2^{\abs E}$. Menjaga agar tingkatannya ($x$, $\{x\}$, $\{\{x\}\}$) tidak tertukar adalah separuh perjuangan dalam latihan seperti Latihan 1.11 dan 1.12.

Contoh 1.27 (Butir (2) sudah tajam)

Pada Proposisi 1.26 (2), kesimpulannya tidak dapat diperkuat: $g \circ f$ bijektif tidak memaksa $f$ surjektif atau $g$ injektif. Ambil $E = G = \{1\}$, $F = \{1, 2\}$, dengan $f(1) = 1$ dan $g(1) = g(2) = 1$: maka $g \circ f = \mathrm{id}_E$ bijektif, namun $f$ melewatkan unsur $2$ dan $g$ meleburkan kedua unsurnya. Moralnya adalah aturan pembukuan yang tepat: informasi komposisi mengalir ke pemetaan dalam untuk keinjektifan dan ke pemetaan luar untuk kesurjektifan, tidak pernah sebaliknya. (Latihan 1.9 membangun gejala yang sama dengan himpunan tak hingga, tempat gejala itu menjadi mesin di balik invers sepihak.)

Contoh 1.32

Pada $\Z$, kekongruenan modulo $n$ ($x \equiv y \pmod n$ bila $n$ membagi $x - y$) adalah relasi ekuivalensi; kelas-kelasnya adalah $n$ himpunan bilangan bulat yang bersisa tertentu bila dibagi $n$. Contoh ini menjelma menjadi ring $\Z/n\Z$ pada Bab 7.