Apa itu Panjang sebuah busur? — Matematika

Definisi 24.9 Matematika Universitas — Tahun 1 · Bab 24 — Kurva Bidang

Adapun panjang sebuah busur $C^1$ yaitu $f \colon \intcc{a}{b} \to \R^2$ adalah integral atas lajunya:

L = \int_a^b \norm{f'(t)}\,\dd t = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\;\dd t .

(Alasannya: pada selang yang kecil, $M(t + h) \approx M(t) + h f'(t)$ , sehingga busurnya dekat pada segi banyak yang panjang ruasnya berjumlah menjadi sebuah jumlah Riemann atas $\norm{f'}$ , Teorema 15.20.) Adapun bagi kurva kutub $r = r(\theta)$ , kecepatannya $r'\vec u + r\vec v$ berkomponen ortogonal, sehingga

L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r'(\theta)^2 + r(\theta)^2}\;\dd\theta .

Panjangnya tak bergantung pada pemarameteran (yang monoton dan $C^1$ ) yang dipilih: karena menyulihkan $t = \varphi(s)$ ke dalam integralnya (Teorema 15.15) mengalikan $f'$ dengan $\varphi'$ dan $\dd t$ dengan $\varphi'^{-1}$ .

Satu lengkungan sikloid (berjari-jari R = 1), lingkaran yang menggelinding di t = 2, dan kedua garis pemandu soal akhir pekannya: karena tali busur MC ke titik sentuhnya bersifat normal terhadap kurvanya, sedangkan tali busur MT ke puncak lingkarannya bersifat menyinggung. — Satu lengkungan sikloid (berjari-jari $R = 1$ ), lingkaran yang menggelinding di $t = 2$ , dan kedua garis pemandu soal akhir pekannya: karena tali busur $MC$ ke titik sentuhnya bersifat *normal* terhadap kurvanya, sedangkan tali busur $MT$ ke puncak lingkarannya bersifat *menyinggung*.

Contoh

Contoh 24.10 (Periksa kewarasan: lingkarannya)

Untuk $f(t) = (R\cos t, R\sin t)$ pada $\intcc{0}{2\pi}$ : $\norm{f'} = R$ , sehingga $L = 2\pi R$ — jadi definisinya mengembalikan kelilingnya. Uji pemarameteran ulangnya: pemetaan $g(t) = (R\cos 2t, R\sin 2t)$ pada $\intcc{0}{\pi}$ menggambar lingkaran yang sama pada laju yang berganda $\norm{g'} = 2R$ , dan

\int_0^{\pi} 2R\,\dd t = 2\pi R

lagi: separuh waktunya, dua kali lajunya, panjang yang sama — yaitu keinvarianan yang dijanjikan pada definisinya, disaksikan sekali pada bilangan. (Menjalankan $g$ pada seluruh $\intcc{0}{2\pi}$ akan memberikan $4\pi R$ : karena kurva yang dilintasi dua kali dua kali lebih panjang sebagai perjalanan; sebab panjangnya mengukur lintasan yang terparameter, dan pembukuan yang jujur atas selangnya bagian dari perhitungannya.) Bagi astroid $(\cos^3t, \sin^3t)$ : $\norm{f'} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ , dan lewat kesetangkupannya $L = 4\int_0^{\pi/2} \tfrac32\sin 2t\,\dd t = 6$ : yaitu kurva yang digambar di dalam lingkaran satuan, yang berpanjang $6 < 2\pi$ . Adapun soal akhir pekannya mengukur lengkungan yang paling termasyhur.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait