Wat is Lengte van een boog? — Wiskunde

Definitie 24.9 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Hoofdstuk 24 — Vlakke krommen

De lengte van een $C^1$ -boog $f \colon \intcc{a}{b} \to \R^2$ is de integraal van de snelheid:

L = \int_a^b \norm{f'(t)}\,\dd t = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\;\dd t .

(Motivering: op een klein interval is $M(t + h) \approx M(t) + h f'(t)$ , zodat de boog dicht bij een veelhoek ligt waarvan de lengten van de segmenten een Riemannsom van $\norm{f'}$ vormen, Stelling 15.20.) Voor een poolkromme $r = r(\theta)$ heeft de snelheid $r'\vec u + r\vec v$ orthogonale componenten, dus is

L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r'(\theta)^2 + r(\theta)^2}\;\dd\theta .

De lengte hangt niet af van de gekozen (monotone, $C^1$ -)parametrisering: de substitutie $t = \varphi(s)$ in de integraal (Stelling 15.15) vermenigvuldigt $f'$ met $\varphi'$ en $\dd t$ met $\varphi'^{-1}$ .

Eén boog van de cycloïde (straal R = 1), de rollende cirkel bij t = 2, en de twee hulplijnen van de weekendopgave: de koorde MC naar het contactpunt staat loodrecht op de kromme, de koorde MT naar de top van de cirkel is rakend. — Eén boog van de cycloïde (straal $R = 1$ ), de rollende cirkel bij $t = 2$ , en de twee hulplijnen van de weekendopgave: de koorde $MC$ naar het contactpunt staat *loodrecht* op de kromme, de koorde $MT$ naar de top van de cirkel is *rakend*.

Voorbeelden

Voorbeeld 24.10 (Controle: de cirkel)

Voor $f(t) = (R\cos t, R\sin t)$ op $\intcc{0}{2\pi}$ is $\norm{f'} = R$ , dus $L = 2\pi R$ — de definitie geeft de omtrek terug. Toets op herparametrisering: de afbeelding $g(t) = (R\cos 2t, R\sin 2t)$ op $\intcc{0}{\pi}$ tekent dezelfde cirkel met dubbele snelheid $\norm{g'} = 2R$ , en

\int_0^{\pi} 2R\,\dd t = 2\pi R

opnieuw: de halve tijd, de dubbele snelheid, dezelfde lengte — de invariantie die in de definitie werd beloofd, één keer op getallen bekeken. ( $g$ over heel $\intcc{0}{2\pi}$ laten lopen zou $4\pi R$ geven: een kromme die twee keer wordt doorlopen is tweemaal zo lang als reis; de lengte meet het geparametriseerde pad, en eerlijke boekhouding van het interval hoort bij de berekening.) Voor de astroïde $(\cos^3t, \sin^3t)$ is $\norm{f'} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ , en uit symmetrie $L = 4\int_0^{\pi/2} \tfrac32\sin 2t\,\dd t = 6$ : een kromme getekend binnen de eenheidscirkel, van lengte $6 < 2\pi$ . De weekendopgave meet de beroemdste boog van allemaal.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen