Qu'est-ce que « Longueur d’un arc » ? — Mathématiques

Définition 24.9 Mathématiques universitaires — Licence 1 · Chapitre 24 — Courbes planes

La longueur d’un arc $C^1$ $f \colon \intcc{a}{b} \to \R^2$ est l’intégrale de la vitesse scalaire :

L = \int_a^b \norm{f'(t)}\,\dd t = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\;\dd t .

(Motivation : sur un petit intervalle, $M(t + h) \approx M(t) + h f'(t)$ , de sorte que l’arc est proche d’une ligne polygonale dont les longueurs des segments s’additionnent en une somme de Riemann de $\norm{f'}$ , Théorème 15.20.) Pour une courbe en polaires $r = r(\theta)$ , la vitesse $r'\vec u + r\vec v$ a des composantes orthogonales, donc

L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r'(\theta)^2 + r(\theta)^2}\;\dd\theta .

La longueur ne dépend pas du paramétrage (monotone, $C^1$ ) choisi : la substitution $t = \varphi(s)$ dans l’intégrale (Théorème 15.15) multiplie $f'$ par $\varphi'$ et $\dd t$ par $\varphi'^{-1}$ .

Une arche de la cycloïde (rayon R = 1), le cercle roulant en t = 2, et les deux droites de construction du devoir maison : la corde MC vers le point de contact est normale à la courbe, la corde MT vers le sommet du cercle est tangente. — Une arche de la cycloïde (rayon $R = 1$ ), le cercle roulant en $t = 2$ , et les deux droites de construction du devoir maison : la corde $MC$ vers le point de contact est *normale* à la courbe, la corde $MT$ vers le sommet du cercle est *tangente*.

Exemples

Exemple 24.10 (Vérification : le cercle)

Pour $f(t) = (R\cos t, R\sin t)$ sur $\intcc{0}{2\pi}$ : $\norm{f'} = R$ , donc $L = 2\pi R$ — la définition rend bien la circonférence. Test de reparamétrage : l’application $g(t) = (R\cos 2t, R\sin 2t)$ sur $\intcc{0}{\pi}$ décrit le même cercle à vitesse doublée $\norm{g'} = 2R$ , et

\int_0^{\pi} 2R\,\dd t = 2\pi R

de nouveau : deux fois moins de temps, deux fois plus vite, même longueur — l’invariance promise dans la définition, constatée une fois sur les nombres. (Faire parcourir $g$ sur tout $\intcc{0}{2\pi}$ donnerait $4\pi R$ : une courbe parcourue deux fois est deux fois plus longue en tant que trajet ; la longueur mesure le chemin paramétré, et une comptabilité honnête de l’intervalle fait partie du calcul.) Pour l’astroïde $(\cos^3t, \sin^3t)$ : $\norm{f'} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ , et par symétrie $L = 4\int_0^{\pi/2} \tfrac32\sin 2t\,\dd t = 6$ : une courbe tracée à l’intérieur du cercle unité, de longueur $6 < 2\pi$ . Le devoir maison mesure la plus célèbre des arches.

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Exemples

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