O que é Comprimento de um arco?

Exemplo 24.10 (Verificação de coerência: o círculo)

Para $f(t) = (R\cos t, R\sin t)$ em $\intcc{0}{2\pi}$: $\norm{f'} = R$, logo $L = 2\pi R$ — a definição devolve a circunferência. Teste de reparametrização: a aplicação $g(t) = (R\cos 2t, R\sin 2t)$ em $\intcc{0}{\pi}$ desenha o mesmo círculo ao dobro da velocidade $\norm{g'} = 2R$, e

de novo: metade do tempo, o dobro da velocidade, o mesmo comprimento — a invariância prometida na definição, observada uma vez em números. (Rodar $g$ em todo o $\intcc{0}{2\pi}$ daria $4\pi R$: uma curva percorrida duas vezes é duas vezes mais longa como percurso; o comprimento mede o caminho parametrizado, e a contabilidade honesta do intervalo faz parte do cálculo.) Para a astroide $(\cos^3t, \sin^3t)$: $\norm{f'} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$, e por simetria $L = 4\int_0^{\pi/2} \tfrac32\sin 2t\,\dd t = 6$: uma curva desenhada dentro do círculo unitário, de comprimento $6 < 2\pi$. O problema de fim de semana mede o arco mais famoso de todos.